ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  phplem3g GIF version

Theorem phplem3g 6349
Description: A natural number is equinumerous to its successor minus any element of the successor. Version of phplem3 6347 with unnecessary hypotheses removed. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
phplem3g ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))

Proof of Theorem phplem3g
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2116 . . . . 5 (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 ∈ suc 𝐴𝐵 ∈ suc 𝐴))
21anbi2d 445 . . . 4 (𝑏 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ suc 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴)))
3 sneq 3413 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → {𝑏} = {𝐵})
43difeq2d 3089 . . . . 5 (𝑏 = 𝐵 → (suc 𝐴 ∖ {𝑏}) = (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))
54breq2d 3803 . . . 4 (𝑏 = 𝐵 → (𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝑏}) ↔ 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵})))
62, 5imbi12d 227 . . 3 (𝑏 = 𝐵 → (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝑏})) ↔ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))))
7 eleq1 2116 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 ∈ ω ↔ 𝐴 ∈ ω))
8 suceq 4166 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐴 → suc 𝑎 = suc 𝐴)
98eleq2d 2123 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴 → (𝑏 ∈ suc 𝑎𝑏 ∈ suc 𝐴))
107, 9anbi12d 450 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ suc 𝑎) ↔ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ suc 𝐴)))
11 id 19 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴𝑎 = 𝐴)
128difeq1d 3088 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴 → (suc 𝑎 ∖ {𝑏}) = (suc 𝐴 ∖ {𝑏}))
1311, 12breq12d 3804 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 ≈ (suc 𝑎 ∖ {𝑏}) ↔ 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝑏})))
1410, 13imbi12d 227 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → (((𝑎 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ suc 𝑎) → 𝑎 ≈ (suc 𝑎 ∖ {𝑏})) ↔ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝑏}))))
15 vex 2577 . . . . . 6 𝑎 ∈ V
16 vex 2577 . . . . . 6 𝑏 ∈ V
1715, 16phplem3 6347 . . . . 5 ((𝑎 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ suc 𝑎) → 𝑎 ≈ (suc 𝑎 ∖ {𝑏}))
1814, 17vtoclg 2630 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝑏})))
1918anabsi5 521 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝑏}))
206, 19vtoclg 2630 . 2 (𝐵 ∈ suc 𝐴 → ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵})))
2120anabsi7 523 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ suc 𝐴) → 𝐴 ≈ (suc 𝐴 ∖ {𝐵}))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101   = wceq 1259  wcel 1409  cdif 2941  {csn 3402   class class class wbr 3791  suc csuc 4129  ωcom 4340  cen 6249
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-br 3792  df-opab 3846  df-tr 3882  df-id 4057  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-en 6252
This theorem is referenced by:  phplem4dom  6354  phpm  6357  phplem4on  6359
  Copyright terms: Public domain W3C validator