ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  phplem4 GIF version

Theorem phplem4 6349
Description: Lemma for Pigeonhole Principle. Equinumerosity of successors implies equinumerosity of the original natural numbers. (Contributed by NM, 28-May-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phplem2.1 𝐴 ∈ V
phplem2.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
phplem4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (suc 𝐴 ≈ suc 𝐵𝐴𝐵))

Proof of Theorem phplem4
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 6259 . 2 (suc 𝐴 ≈ suc 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵)
2 f1of1 5153 . . . . . . . . . 10 (𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵)
32adantl 266 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵) → 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵)
4 phplem2.2 . . . . . . . . . 10 𝐵 ∈ V
54sucex 4253 . . . . . . . . 9 suc 𝐵 ∈ V
6 sssucid 4180 . . . . . . . . . 10 𝐴 ⊆ suc 𝐴
7 phplem2.1 . . . . . . . . . 10 𝐴 ∈ V
8 f1imaen2g 6304 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵 ∧ suc 𝐵 ∈ V) ∧ (𝐴 ⊆ suc 𝐴𝐴 ∈ V)) → (𝑓𝐴) ≈ 𝐴)
96, 7, 8mpanr12 423 . . . . . . . . 9 ((𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵 ∧ suc 𝐵 ∈ V) → (𝑓𝐴) ≈ 𝐴)
103, 5, 9sylancl 398 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵) → (𝑓𝐴) ≈ 𝐴)
1110ensymd 6294 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵) → 𝐴 ≈ (𝑓𝐴))
12 nnord 4362 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
13 orddif 4299 . . . . . . . . . 10 (Ord 𝐴𝐴 = (suc 𝐴 ∖ {𝐴}))
1412, 13syl 14 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 = (suc 𝐴 ∖ {𝐴}))
1514imaeq2d 4696 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ω → (𝑓𝐴) = (𝑓 “ (suc 𝐴 ∖ {𝐴})))
16 f1ofn 5155 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵𝑓 Fn suc 𝐴)
177sucid 4182 . . . . . . . . . . 11 𝐴 ∈ suc 𝐴
18 fnsnfv 5260 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 Fn suc 𝐴𝐴 ∈ suc 𝐴) → {(𝑓𝐴)} = (𝑓 “ {𝐴}))
1916, 17, 18sylancl 398 . . . . . . . . . 10 (𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵 → {(𝑓𝐴)} = (𝑓 “ {𝐴}))
2019difeq2d 3090 . . . . . . . . 9 (𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵 → ((𝑓 “ suc 𝐴) ∖ {(𝑓𝐴)}) = ((𝑓 “ suc 𝐴) ∖ (𝑓 “ {𝐴})))
21 imadmrn 4706 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 “ dom 𝑓) = ran 𝑓
2221eqcomi 2060 . . . . . . . . . . 11 ran 𝑓 = (𝑓 “ dom 𝑓)
23 f1ofo 5161 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵𝑓:suc 𝐴onto→suc 𝐵)
24 forn 5137 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:suc 𝐴onto→suc 𝐵 → ran 𝑓 = suc 𝐵)
2523, 24syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵 → ran 𝑓 = suc 𝐵)
26 f1odm 5158 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵 → dom 𝑓 = suc 𝐴)
2726imaeq2d 4696 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵 → (𝑓 “ dom 𝑓) = (𝑓 “ suc 𝐴))
2822, 25, 273eqtr3a 2112 . . . . . . . . . 10 (𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵 → suc 𝐵 = (𝑓 “ suc 𝐴))
2928difeq1d 3089 . . . . . . . . 9 (𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵 → (suc 𝐵 ∖ {(𝑓𝐴)}) = ((𝑓 “ suc 𝐴) ∖ {(𝑓𝐴)}))
30 dff1o3 5160 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵 ↔ (𝑓:suc 𝐴onto→suc 𝐵 ∧ Fun 𝑓))
3130simprbi 264 . . . . . . . . . 10 (𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵 → Fun 𝑓)
32 imadif 5007 . . . . . . . . . 10 (Fun 𝑓 → (𝑓 “ (suc 𝐴 ∖ {𝐴})) = ((𝑓 “ suc 𝐴) ∖ (𝑓 “ {𝐴})))
3331, 32syl 14 . . . . . . . . 9 (𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵 → (𝑓 “ (suc 𝐴 ∖ {𝐴})) = ((𝑓 “ suc 𝐴) ∖ (𝑓 “ {𝐴})))
3420, 29, 333eqtr4rd 2099 . . . . . . . 8 (𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵 → (𝑓 “ (suc 𝐴 ∖ {𝐴})) = (suc 𝐵 ∖ {(𝑓𝐴)}))
3515, 34sylan9eq 2108 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵) → (𝑓𝐴) = (suc 𝐵 ∖ {(𝑓𝐴)}))
3611, 35breqtrd 3816 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵) → 𝐴 ≈ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓𝐴)}))
37 fnfvelrn 5327 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 Fn suc 𝐴𝐴 ∈ suc 𝐴) → (𝑓𝐴) ∈ ran 𝑓)
3816, 17, 37sylancl 398 . . . . . . . . 9 (𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵 → (𝑓𝐴) ∈ ran 𝑓)
3924eleq2d 2123 . . . . . . . . . 10 (𝑓:suc 𝐴onto→suc 𝐵 → ((𝑓𝐴) ∈ ran 𝑓 ↔ (𝑓𝐴) ∈ suc 𝐵))
4023, 39syl 14 . . . . . . . . 9 (𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵 → ((𝑓𝐴) ∈ ran 𝑓 ↔ (𝑓𝐴) ∈ suc 𝐵))
4138, 40mpbid 139 . . . . . . . 8 (𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵 → (𝑓𝐴) ∈ suc 𝐵)
42 vex 2577 . . . . . . . . . 10 𝑓 ∈ V
4342, 7fvex 5223 . . . . . . . . 9 (𝑓𝐴) ∈ V
444, 43phplem3 6348 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ω ∧ (𝑓𝐴) ∈ suc 𝐵) → 𝐵 ≈ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓𝐴)}))
4541, 44sylan2 274 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵) → 𝐵 ≈ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓𝐴)}))
4645ensymd 6294 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵) → (suc 𝐵 ∖ {(𝑓𝐴)}) ≈ 𝐵)
47 entr 6295 . . . . . 6 ((𝐴 ≈ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓𝐴)}) ∧ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓𝐴)}) ≈ 𝐵) → 𝐴𝐵)
4836, 46, 47syl2an 277 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵) ∧ (𝐵 ∈ ω ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵)) → 𝐴𝐵)
4948anandirs 535 . . . 4 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵) → 𝐴𝐵)
5049ex 112 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵𝐴𝐵))
5150exlimdv 1716 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (∃𝑓 𝑓:suc 𝐴1-1-onto→suc 𝐵𝐴𝐵))
521, 51syl5bi 145 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (suc 𝐴 ≈ suc 𝐵𝐴𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102   = wceq 1259  wex 1397  wcel 1409  Vcvv 2574  cdif 2942  wss 2945  {csn 3403   class class class wbr 3792  Ord word 4127  suc csuc 4130  ωcom 4341  ccnv 4372  dom cdm 4373  ran crn 4374  cima 4376  Fun wfun 4924   Fn wfn 4925  1-1wf1 4927  ontowfo 4928  1-1-ontowf1o 4929  cfv 4930  cen 6250
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-br 3793  df-opab 3847  df-tr 3883  df-id 4058  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-er 6137  df-en 6253
This theorem is referenced by:  nneneq  6351  php5  6352
  Copyright terms: Public domain W3C validator