ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pitri3or GIF version

Theorem pitri3or 6377
Description: Trichotomy for positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
pitri3or ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 <N 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 <N 𝐴))

Proof of Theorem pitri3or
StepHypRef Expression
1 pinn 6364 . . 3 (𝐴N𝐴 ∈ ω)
2 pinn 6364 . . 3 (𝐵N𝐵 ∈ ω)
3 nntri3or 6035 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴))
41, 2, 3syl2an 273 . 2 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴))
5 ltpiord 6374 . . 3 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 <N 𝐵𝐴𝐵))
6 biidd 161 . . 3 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 = 𝐵𝐴 = 𝐵))
7 ltpiord 6374 . . . 4 ((𝐵N𝐴N) → (𝐵 <N 𝐴𝐵𝐴))
87ancoms 255 . . 3 ((𝐴N𝐵N) → (𝐵 <N 𝐴𝐵𝐴))
95, 6, 83orbi123d 1206 . 2 ((𝐴N𝐵N) → ((𝐴 <N 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 <N 𝐴) ↔ (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴)))
104, 9mpbird 156 1 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 <N 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 <N 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97  wb 98  w3o 884   = wceq 1243  wcel 1393   class class class wbr 3761  ωcom 4276  Ncnpi 6327   <N clti 6330
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3872  ax-nul 3880  ax-pow 3924  ax-pr 3941  ax-un 4142  ax-iinf 4274
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2308  df-rex 2309  df-v 2556  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-nul 3222  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-uni 3578  df-int 3613  df-br 3762  df-opab 3816  df-tr 3852  df-eprel 4023  df-iord 4075  df-on 4077  df-suc 4080  df-iom 4277  df-xp 4314  df-ni 6359  df-lti 6362
This theorem is referenced by:  nqtri3or  6451  caucvgprlemnkj  6721  caucvgprlemnbj  6722  caucvgprprlemnkj  6747  caucvgprprlemnbj  6748  caucvgsr  6843
  Copyright terms: Public domain W3C validator