ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pitric GIF version

Theorem pitric 7097
Description: Trichotomy for positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
pitric ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 = 𝐵𝐵 <N 𝐴)))

Proof of Theorem pitric
StepHypRef Expression
1 pinn 7085 . . 3 (𝐴N𝐴 ∈ ω)
2 pinn 7085 . . 3 (𝐵N𝐵 ∈ ω)
3 nntri2 6358 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ (𝐴 = 𝐵𝐵𝐴)))
41, 2, 3syl2an 287 . 2 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ (𝐴 = 𝐵𝐵𝐴)))
5 ltpiord 7095 . 2 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 <N 𝐵𝐴𝐵))
6 ltpiord 7095 . . . . 5 ((𝐵N𝐴N) → (𝐵 <N 𝐴𝐵𝐴))
76ancoms 266 . . . 4 ((𝐴N𝐵N) → (𝐵 <N 𝐴𝐵𝐴))
87orbi2d 764 . . 3 ((𝐴N𝐵N) → ((𝐴 = 𝐵𝐵 <N 𝐴) ↔ (𝐴 = 𝐵𝐵𝐴)))
98notbid 641 . 2 ((𝐴N𝐵N) → (¬ (𝐴 = 𝐵𝐵 <N 𝐴) ↔ ¬ (𝐴 = 𝐵𝐵𝐴)))
104, 5, 93bitr4d 219 1 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 = 𝐵𝐵 <N 𝐴)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 682   = wceq 1316  wcel 1465   class class class wbr 3899  ωcom 4474  Ncnpi 7048   <N clti 7051
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-tr 3997  df-eprel 4181  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-ni 7080  df-lti 7083
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator