Theorem pnfnemnf 7813

Description: Plus and minus infinity are different elements of ℝ^*. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnemnf	⊢ +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem pnfnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 7811	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		pwne 4079	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → 𝒫 +∞ ≠ +∞)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝒫 +∞ ≠ +∞
4	3	necomi 2391	. 2 ⊢ +∞ ≠ 𝒫 +∞
5		df-mnf 7796	. 2 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
6	4, 5	neeqtrri 2335	1 ⊢ +∞ ≠ -∞

Syntax hints:   ∈ wcel 1480   ≠ wne 2306  𝒫 cpw 3505  +∞cpnf 7790  -∞cmnf 7791  ℝ^*cxr 7792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-un 4350  ax-cnex 7704

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-uni 3732  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797

This theorem is referenced by:  mnfnepnf  7814  xnn0nemnf  9044  xrnemnf  9557  xrltnr  9559  pnfnlt  9566  nltmnf  9567  ngtmnft  9593  xrmnfdc  9619  xaddpnf1  9622  xaddnemnf  9633  xposdif  9658  xleaddadd  9663