Theorem pnfnemnf 7235

Description: Plus and minus infinity are different elements of ℝ^*. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnemnf	⊢ +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem pnfnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 7233	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		pwne 3942	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → 𝒫 +∞ ≠ +∞)
3	1, 2	ax-mp 7	. . 3 ⊢ 𝒫 +∞ ≠ +∞
4	3	necomi 2331	. 2 ⊢ +∞ ≠ 𝒫 +∞
5		df-mnf 7218	. 2 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
6	4, 5	neeqtrri 2275	1 ⊢ +∞ ≠ -∞

Syntax hints:   ∈ wcel 1434   ≠ wne 2246  𝒫 cpw 3390  +∞cpnf 7212  -∞cmnf 7213  ℝ^*cxr 7214

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-un 4196  ax-cnex 7129

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-rex 2355  df-rab 2358  df-v 2604  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-uni 3610  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219

This theorem is referenced by:  mnfnepnf  7236  xnn0nemnf  8429  xrnemnf  8929  xrltnr  8931  pnfnlt  8938  nltmnf  8939  ngtmnft  8961