Theorem pnfnre 7807

Description: Plus infinity is not a real number. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnre	⊢ +∞ ∉ ℝ

Proof of Theorem pnfnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 7744	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
2	1	uniex 4359	. . . . 5 ⊢ ∪ ℂ ∈ V
3		pwuninel2 6179	. . . . 5 ⊢ (∪ ℂ ∈ V → ¬ 𝒫 ∪ ℂ ∈ ℂ)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ¬ 𝒫 ∪ ℂ ∈ ℂ
5		df-pnf 7802	. . . . 5 ⊢ +∞ = 𝒫 ∪ ℂ
6	5	eleq1i 2205	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℂ ↔ 𝒫 ∪ ℂ ∈ ℂ)
7	4, 6	mtbir 660	. . 3 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℂ
8		recn 7753	. . 3 ⊢ (+∞ ∈ ℝ → +∞ ∈ ℂ)
9	7, 8	mto 651	. 2 ⊢ ¬ +∞ ∈ ℝ
10	9	nelir 2406	1 ⊢ +∞ ∉ ℝ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 1480   ∉ wnel 2403  Vcvv 2686  𝒫 cpw 3510  ∪ cuni 3736  ℂcc 7618  ℝcr 7619  +∞cpnf 7797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-un 4355  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-nel 2404  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-uni 3737  df-pnf 7802

This theorem is referenced by:  renepnf  7813  nn0nepnf  9048  xrltnr  9566  pnfnlt  9573  xnn0lenn0nn0  9648  inftonninf  10214