Theorem po3nr 4232

Description: A partial order relation has no 3-cycle loops. (Contributed by NM, 27-Mar-1997.)

Assertion

Ref	Expression
po3nr	⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ¬ (𝐵𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅𝐷 ∧ 𝐷𝑅𝐵))

Proof of Theorem po3nr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		po2nr 4231	. . 3 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ¬ (𝐵𝑅𝐷 ∧ 𝐷𝑅𝐵))
2	1	3adantr2 1141	. 2 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ¬ (𝐵𝑅𝐷 ∧ 𝐷𝑅𝐵))
3		df-3an 964	. . 3 ⊢ ((𝐵𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅𝐷 ∧ 𝐷𝑅𝐵) ↔ ((𝐵𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅𝐷) ∧ 𝐷𝑅𝐵))
4		potr 4230	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐵𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅𝐷) → 𝐵𝑅𝐷))
5	4	anim1d 334	. . 3 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → (((𝐵𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅𝐷) ∧ 𝐷𝑅𝐵) → (𝐵𝑅𝐷 ∧ 𝐷𝑅𝐵)))
6	3, 5	syl5bi 151	. 2 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐵𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅𝐷 ∧ 𝐷𝑅𝐵) → (𝐵𝑅𝐷 ∧ 𝐷𝑅𝐵)))
7	2, 6	mtod 652	1 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ¬ (𝐵𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅𝐷 ∧ 𝐷𝑅𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 962   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929   Po wpo 4216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-v 2688  df-un 3075  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-po 4218

This theorem is referenced by:  so3nr  4244