Theorem posng 4606

Description: Partial ordering of a singleton. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
posng	⊢ ((Rel 𝑅 ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑅 Po {𝐴} ↔ ¬ 𝐴𝑅𝐴))

Proof of Theorem posng

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-po 4213	. 2 ⊢ (𝑅 Po {𝐴} ↔ ∀𝑧 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴}∀𝑥 ∈ {𝐴} (¬ 𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑥)))
2		breq2 3928	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑦𝑅𝑥 ↔ 𝑦𝑅𝐴))
3	2	anbi2d 459	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) ↔ (𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝐴)))
4		breq2 3928	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑧𝑅𝑥 ↔ 𝑧𝑅𝐴))
5	3, 4	imbi12d 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑥) ↔ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝐴) → 𝑧𝑅𝐴)))
6	5	anbi2d 459	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((¬ 𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑥)) ↔ (¬ 𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝐴) → 𝑧𝑅𝐴))))
7	6	ralsng 3559	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∀𝑥 ∈ {𝐴} (¬ 𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑥)) ↔ (¬ 𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝐴) → 𝑧𝑅𝐴))))
8	7	ralbidv 2435	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∀𝑦 ∈ {𝐴}∀𝑥 ∈ {𝐴} (¬ 𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑥)) ↔ ∀𝑦 ∈ {𝐴} (¬ 𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝐴) → 𝑧𝑅𝐴))))
9		simpl 108	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝐴) → 𝑧𝑅𝑦)
10		breq2 3928	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑧𝑅𝑦 ↔ 𝑧𝑅𝐴))
11	9, 10	syl5ib 153	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝐴) → 𝑧𝑅𝐴))
12	11	biantrud 302	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (¬ 𝑧𝑅𝑧 ↔ (¬ 𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝐴) → 𝑧𝑅𝐴))))
13	12	bicomd 140	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((¬ 𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝐴) → 𝑧𝑅𝐴)) ↔ ¬ 𝑧𝑅𝑧))
14	13	ralsng 3559	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∀𝑦 ∈ {𝐴} (¬ 𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝐴) → 𝑧𝑅𝐴)) ↔ ¬ 𝑧𝑅𝑧))
15	8, 14	bitrd 187	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∀𝑦 ∈ {𝐴}∀𝑥 ∈ {𝐴} (¬ 𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑥)) ↔ ¬ 𝑧𝑅𝑧))
16	15	ralbidv 2435	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∀𝑧 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴}∀𝑥 ∈ {𝐴} (¬ 𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑥)) ↔ ∀𝑧 ∈ {𝐴} ¬ 𝑧𝑅𝑧))
17		breq12 3929	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 = 𝐴 ∧ 𝑧 = 𝐴) → (𝑧𝑅𝑧 ↔ 𝐴𝑅𝐴))
18	17	anidms 394	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝑧𝑅𝑧 ↔ 𝐴𝑅𝐴))
19	18	notbid 656	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (¬ 𝑧𝑅𝑧 ↔ ¬ 𝐴𝑅𝐴))
20	19	ralsng 3559	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∀𝑧 ∈ {𝐴} ¬ 𝑧𝑅𝑧 ↔ ¬ 𝐴𝑅𝐴))
21	16, 20	bitrd 187	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∀𝑧 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴}∀𝑥 ∈ {𝐴} (¬ 𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑥)) ↔ ¬ 𝐴𝑅𝐴))
22	21	adantl 275	. 2 ⊢ ((Rel 𝑅 ∧ 𝐴 ∈ V) → (∀𝑧 ∈ {𝐴}∀𝑦 ∈ {𝐴}∀𝑥 ∈ {𝐴} (¬ 𝑧𝑅𝑧 ∧ ((𝑧𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑧𝑅𝑥)) ↔ ¬ 𝐴𝑅𝐴))
23	1, 22	syl5bb 191	1 ⊢ ((Rel 𝑅 ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑅 Po {𝐴} ↔ ¬ 𝐴𝑅𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∀wral 2414  Vcvv 2681  {csn 3522   class class class wbr 3924   Po wpo 4211  Rel wrel 4539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-v 2683  df-sbc 2905  df-un 3070  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-br 3925  df-po 4213

This theorem is referenced by:  sosng  4607