ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prarloclem GIF version

Theorem prarloclem 6657
Description: A special case of Lemma 6.16 from [BauerTaylor], p. 32. Given evenly spaced rational numbers from 𝐴 to 𝐴 +Q (𝑁 ·Q 𝑃) (which are in the lower and upper cuts, respectively, of a real number), there are a pair of numbers, two positions apart in the even spacing, which straddle the cut. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclem (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑁N𝑃Q ∧ 1𝑜 <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝑗,𝐿   𝑗,𝑁   𝑃,𝑗   𝑈,𝑗

Proof of Theorem prarloclem
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prarloclem5 6656 . 2 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑁N𝑃Q ∧ 1𝑜 <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
2 prarloclem4 6654 . . . 4 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ 𝑃Q) → (∃𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
323ad2antr2 1081 . . 3 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑁N𝑃Q ∧ 1𝑜 <N 𝑁)) → (∃𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
433adant3 935 . 2 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑁N𝑃Q ∧ 1𝑜 <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → (∃𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
51, 4mpd 13 1 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑁N𝑃Q ∧ 1𝑜 <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑗 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑗, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨(𝑗 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  w3a 896  wcel 1409  wrex 2324  cop 3406   class class class wbr 3792  ωcom 4341  (class class class)co 5540  1𝑜c1o 6025  2𝑜c2o 6026   +𝑜 coa 6029  [cec 6135  Ncnpi 6428   <N clti 6431   ~Q ceq 6435  Qcnq 6436   +Q cplq 6438   ·Q cmq 6439   ~Q0 ceq0 6442   +Q0 cplq0 6445   ·Q0 cmq0 6446  Pcnp 6447
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622
This theorem is referenced by:  prarloc  6659
  Copyright terms: Public domain W3C validator