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Theorem prarloclem5 6822
Description: A substitution of zero for 𝑦 and 𝑁 minus two for 𝑥. Lemma for prarloc 6825. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclem5 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑁N𝑃Q ∧ 1𝑜 <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦
Allowed substitution hint:   𝑁(𝑦)

Proof of Theorem prarloclem5
StepHypRef Expression
1 prarloclemn 6821 . . . 4 ((𝑁N ∧ 1𝑜 <N 𝑁) → ∃𝑥 ∈ ω (2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁)
213adant2 958 . . 3 ((𝑁N𝑃Q ∧ 1𝑜 <N 𝑁) → ∃𝑥 ∈ ω (2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁)
323ad2ant2 961 . 2 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑁N𝑃Q ∧ 1𝑜 <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ ω (2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁)
4 elprnql 6803 . . . . . . 7 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) → 𝐴Q)
543ad2ant1 960 . . . . . 6 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑁N𝑃Q ∧ 1𝑜 <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → 𝐴Q)
6 simp22 973 . . . . . 6 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑁N𝑃Q ∧ 1𝑜 <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → 𝑃Q)
7 nqnq0 6763 . . . . . . . . 9 QQ0
87sseli 3004 . . . . . . . 8 (𝐴Q𝐴Q0)
9 nq0a0 6779 . . . . . . . 8 (𝐴Q0 → (𝐴 +Q0 0Q0) = 𝐴)
108, 9syl 14 . . . . . . 7 (𝐴Q → (𝐴 +Q0 0Q0) = 𝐴)
11 df-0nq0 6748 . . . . . . . . . 10 0Q0 = [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0
1211oveq1i 5574 . . . . . . . . 9 (0Q0 ·Q0 𝑃) = ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)
137sseli 3004 . . . . . . . . . 10 (𝑃Q𝑃Q0)
14 nq0m0r 6778 . . . . . . . . . 10 (𝑃Q0 → (0Q0 ·Q0 𝑃) = 0Q0)
1513, 14syl 14 . . . . . . . . 9 (𝑃Q → (0Q0 ·Q0 𝑃) = 0Q0)
1612, 15syl5reqr 2130 . . . . . . . 8 (𝑃Q → 0Q0 = ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃))
1716oveq2d 5580 . . . . . . 7 (𝑃Q → (𝐴 +Q0 0Q0) = (𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
1810, 17sylan9req 2136 . . . . . 6 ((𝐴Q𝑃Q) → 𝐴 = (𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
195, 6, 18syl2anc 403 . . . . 5 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑁N𝑃Q ∧ 1𝑜 <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → 𝐴 = (𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
20 simp1r 964 . . . . 5 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑁N𝑃Q ∧ 1𝑜 <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → 𝐴𝐿)
2119, 20eqeltrrd 2160 . . . 4 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑁N𝑃Q ∧ 1𝑜 <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → (𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿)
22 2onn 6182 . . . . . . . . . . . . . . 15 2𝑜 ∈ ω
23 nna0r 6143 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2𝑜 ∈ ω → (∅ +𝑜 2𝑜) = 2𝑜)
2422, 23ax-mp 7 . . . . . . . . . . . . . 14 (∅ +𝑜 2𝑜) = 2𝑜
2524oveq1i 5574 . . . . . . . . . . . . 13 ((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥) = (2𝑜 +𝑜 𝑥)
2625eqeq1i 2090 . . . . . . . . . . . 12 (((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥) = 𝑁 ↔ (2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁)
2726biimpri 131 . . . . . . . . . . 11 ((2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁 → ((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥) = 𝑁)
2827opeq1d 3596 . . . . . . . . . 10 ((2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁 → ⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩ = ⟨𝑁, 1𝑜⟩)
2928eceq1d 6230 . . . . . . . . 9 ((2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁 → [⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q = [⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q )
3029oveq1d 5579 . . . . . . . 8 ((2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁 → ([⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))
3130oveq2d 5580 . . . . . . 7 ((2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁 → (𝐴 +Q ([⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
3231eleq1d 2151 . . . . . 6 ((2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁 → ((𝐴 +Q ([⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
3332biimprcd 158 . . . . 5 ((𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 → ((2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁 → (𝐴 +Q ([⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
34333ad2ant3 962 . . . 4 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑁N𝑃Q ∧ 1𝑜 <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ((2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁 → (𝐴 +Q ([⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
35 peano1 4363 . . . . 5 ∅ ∈ ω
36 opeq1 3590 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = ∅ → ⟨𝑦, 1𝑜⟩ = ⟨∅, 1𝑜⟩)
3736eceq1d 6230 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ∅ → [⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 = [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 )
3837oveq1d 5579 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ∅ → ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃) = ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃))
3938oveq2d 5580 . . . . . . . 8 (𝑦 = ∅ → (𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) = (𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
4039eleq1d 2151 . . . . . . 7 (𝑦 = ∅ → ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ↔ (𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿))
41 oveq1 5571 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ∅ → (𝑦 +𝑜 2𝑜) = (∅ +𝑜 2𝑜))
4241oveq1d 5579 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = ∅ → ((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥) = ((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥))
4342opeq1d 3596 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = ∅ → ⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩ = ⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩)
4443eceq1d 6230 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ∅ → [⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q = [⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q )
4544oveq1d 5579 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ∅ → ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))
4645oveq2d 5580 . . . . . . . 8 (𝑦 = ∅ → (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
4746eleq1d 2151 . . . . . . 7 (𝑦 = ∅ → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
4840, 47anbi12d 457 . . . . . 6 (𝑦 = ∅ → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
4948rspcev 2710 . . . . 5 ((∅ ∈ ω ∧ ((𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
5035, 49mpan 415 . . . 4 (((𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
5121, 34, 50syl6an 1364 . . 3 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑁N𝑃Q ∧ 1𝑜 <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ((2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁 → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
5251reximdv 2467 . 2 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑁N𝑃Q ∧ 1𝑜 <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → (∃𝑥 ∈ ω (2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁 → ∃𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
533, 52mpd 13 1 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑁N𝑃Q ∧ 1𝑜 <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  w3a 920   = wceq 1285  wcel 1434  wrex 2354  c0 3267  cop 3419   class class class wbr 3805  ωcom 4359  (class class class)co 5564  1𝑜c1o 6079  2𝑜c2o 6080   +𝑜 coa 6083  [cec 6192  Ncnpi 6594   <N clti 6597   ~Q ceq 6601  Qcnq 6602   +Q cplq 6604   ·Q cmq 6605   ~Q0 ceq0 6608  Q0cnq0 6609  0Q0c0q0 6610   +Q0 cplq0 6611   ·Q0 cmq0 6612  Pcnp 6613
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-eprel 4072  df-id 4076  df-iord 4149  df-on 4151  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-1st 5819  df-2nd 5820  df-recs 5975  df-irdg 6040  df-1o 6086  df-2o 6087  df-oadd 6090  df-omul 6091  df-er 6194  df-ec 6196  df-qs 6200  df-ni 6626  df-mi 6628  df-lti 6629  df-enq 6669  df-nqqs 6670  df-enq0 6746  df-nq0 6747  df-0nq0 6748  df-plq0 6749  df-mq0 6750  df-inp 6788
This theorem is referenced by:  prarloclem  6823
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