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Theorem prarloclem5 6655
Description: A substitution of zero for 𝑦 and 𝑁 minus two for 𝑥. Lemma for prarloc 6658. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclem5 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑁N𝑃Q ∧ 1𝑜 <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦
Allowed substitution hint:   𝑁(𝑦)

Proof of Theorem prarloclem5
StepHypRef Expression
1 prarloclemn 6654 . . . 4 ((𝑁N ∧ 1𝑜 <N 𝑁) → ∃𝑥 ∈ ω (2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁)
213adant2 934 . . 3 ((𝑁N𝑃Q ∧ 1𝑜 <N 𝑁) → ∃𝑥 ∈ ω (2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁)
323ad2ant2 937 . 2 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑁N𝑃Q ∧ 1𝑜 <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ ω (2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁)
4 elprnql 6636 . . . . . . 7 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) → 𝐴Q)
543ad2ant1 936 . . . . . 6 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑁N𝑃Q ∧ 1𝑜 <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → 𝐴Q)
6 simp22 949 . . . . . 6 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑁N𝑃Q ∧ 1𝑜 <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → 𝑃Q)
7 nqnq0 6596 . . . . . . . . 9 QQ0
87sseli 2968 . . . . . . . 8 (𝐴Q𝐴Q0)
9 nq0a0 6612 . . . . . . . 8 (𝐴Q0 → (𝐴 +Q0 0Q0) = 𝐴)
108, 9syl 14 . . . . . . 7 (𝐴Q → (𝐴 +Q0 0Q0) = 𝐴)
11 df-0nq0 6581 . . . . . . . . . 10 0Q0 = [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0
1211oveq1i 5549 . . . . . . . . 9 (0Q0 ·Q0 𝑃) = ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)
137sseli 2968 . . . . . . . . . 10 (𝑃Q𝑃Q0)
14 nq0m0r 6611 . . . . . . . . . 10 (𝑃Q0 → (0Q0 ·Q0 𝑃) = 0Q0)
1513, 14syl 14 . . . . . . . . 9 (𝑃Q → (0Q0 ·Q0 𝑃) = 0Q0)
1612, 15syl5reqr 2103 . . . . . . . 8 (𝑃Q → 0Q0 = ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃))
1716oveq2d 5555 . . . . . . 7 (𝑃Q → (𝐴 +Q0 0Q0) = (𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
1810, 17sylan9req 2109 . . . . . 6 ((𝐴Q𝑃Q) → 𝐴 = (𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
195, 6, 18syl2anc 397 . . . . 5 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑁N𝑃Q ∧ 1𝑜 <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → 𝐴 = (𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
20 simp1r 940 . . . . 5 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑁N𝑃Q ∧ 1𝑜 <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → 𝐴𝐿)
2119, 20eqeltrrd 2131 . . . 4 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑁N𝑃Q ∧ 1𝑜 <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → (𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿)
22 2onn 6124 . . . . . . . . . . . . . . 15 2𝑜 ∈ ω
23 nna0r 6087 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2𝑜 ∈ ω → (∅ +𝑜 2𝑜) = 2𝑜)
2422, 23ax-mp 7 . . . . . . . . . . . . . 14 (∅ +𝑜 2𝑜) = 2𝑜
2524oveq1i 5549 . . . . . . . . . . . . 13 ((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥) = (2𝑜 +𝑜 𝑥)
2625eqeq1i 2063 . . . . . . . . . . . 12 (((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥) = 𝑁 ↔ (2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁)
2726biimpri 128 . . . . . . . . . . 11 ((2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁 → ((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥) = 𝑁)
2827opeq1d 3582 . . . . . . . . . 10 ((2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁 → ⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩ = ⟨𝑁, 1𝑜⟩)
2928eceq1d 6172 . . . . . . . . 9 ((2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁 → [⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q = [⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q )
3029oveq1d 5554 . . . . . . . 8 ((2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁 → ([⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))
3130oveq2d 5555 . . . . . . 7 ((2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁 → (𝐴 +Q ([⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
3231eleq1d 2122 . . . . . 6 ((2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁 → ((𝐴 +Q ([⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
3332biimprcd 153 . . . . 5 ((𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 → ((2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁 → (𝐴 +Q ([⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
34333ad2ant3 938 . . . 4 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑁N𝑃Q ∧ 1𝑜 <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ((2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁 → (𝐴 +Q ([⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
35 peano1 4344 . . . . 5 ∅ ∈ ω
36 opeq1 3576 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = ∅ → ⟨𝑦, 1𝑜⟩ = ⟨∅, 1𝑜⟩)
3736eceq1d 6172 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ∅ → [⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 = [⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 )
3837oveq1d 5554 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ∅ → ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃) = ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃))
3938oveq2d 5555 . . . . . . . 8 (𝑦 = ∅ → (𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) = (𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)))
4039eleq1d 2122 . . . . . . 7 (𝑦 = ∅ → ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ↔ (𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿))
41 oveq1 5546 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ∅ → (𝑦 +𝑜 2𝑜) = (∅ +𝑜 2𝑜))
4241oveq1d 5554 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = ∅ → ((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥) = ((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥))
4342opeq1d 3582 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = ∅ → ⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩ = ⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩)
4443eceq1d 6172 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ∅ → [⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q = [⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q )
4544oveq1d 5554 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ∅ → ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃) = ([⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃))
4645oveq2d 5555 . . . . . . . 8 (𝑦 = ∅ → (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) = (𝐴 +Q ([⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)))
4746eleq1d 2122 . . . . . . 7 (𝑦 = ∅ → ((𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 +Q ([⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
4840, 47anbi12d 450 . . . . . 6 (𝑦 = ∅ → (((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
4948rspcev 2673 . . . . 5 ((∅ ∈ ω ∧ ((𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
5035, 49mpan 408 . . . 4 (((𝐴 +Q0 ([⟨∅, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((∅ +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
5121, 34, 50syl6an 1339 . . 3 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑁N𝑃Q ∧ 1𝑜 <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ((2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁 → ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
5251reximdv 2437 . 2 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑁N𝑃Q ∧ 1𝑜 <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → (∃𝑥 ∈ ω (2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁 → ∃𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈)))
533, 52mpd 13 1 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴𝐿) ∧ (𝑁N𝑃Q ∧ 1𝑜 <N 𝑁) ∧ (𝐴 +Q ([⟨𝑁, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈) → ∃𝑥 ∈ ω ∃𝑦 ∈ ω ((𝐴 +Q0 ([⟨𝑦, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑃)) ∈ 𝐿 ∧ (𝐴 +Q ([⟨((𝑦 +𝑜 2𝑜) +𝑜 𝑥), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑃)) ∈ 𝑈))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  w3a 896   = wceq 1259  wcel 1409  wrex 2324  c0 3251  cop 3405   class class class wbr 3791  ωcom 4340  (class class class)co 5539  1𝑜c1o 6024  2𝑜c2o 6025   +𝑜 coa 6028  [cec 6134  Ncnpi 6427   <N clti 6430   ~Q ceq 6434  Qcnq 6435   +Q cplq 6437   ·Q cmq 6438   ~Q0 ceq0 6441  Q0cnq0 6442  0Q0c0q0 6443   +Q0 cplq0 6444   ·Q0 cmq0 6445  Pcnp 6446
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-eprel 4053  df-id 4057  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-1o 6031  df-2o 6032  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-mi 6461  df-lti 6462  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-enq0 6579  df-nq0 6580  df-0nq0 6581  df-plq0 6582  df-mq0 6583  df-inp 6621
This theorem is referenced by:  prarloclem  6656
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