ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prarloclemarch GIF version

Theorem prarloclemarch 6544
Description: A version of the Archimedean property. This variation is "stronger" than archnqq 6543 in the sense that we provide an integer which is larger than a given rational 𝐴 even after being multiplied by a second rational 𝐵. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclemarch ((𝐴Q𝐵Q) → ∃𝑥N 𝐴 <Q ([⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem prarloclemarch
StepHypRef Expression
1 recclnq 6518 . . . 4 (𝐵Q → (*Q𝐵) ∈ Q)
2 mulclnq 6502 . . . 4 ((𝐴Q ∧ (*Q𝐵) ∈ Q) → (𝐴 ·Q (*Q𝐵)) ∈ Q)
31, 2sylan2 274 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 ·Q (*Q𝐵)) ∈ Q)
4 archnqq 6543 . . 3 ((𝐴 ·Q (*Q𝐵)) ∈ Q → ∃𝑥N (𝐴 ·Q (*Q𝐵)) <Q [⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q )
53, 4syl 14 . 2 ((𝐴Q𝐵Q) → ∃𝑥N (𝐴 ·Q (*Q𝐵)) <Q [⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q )
6 simpll 489 . . . . . 6 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ 𝑥N) → 𝐴Q)
7 1pi 6441 . . . . . . . . . . 11 1𝑜N
8 opelxpi 4401 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥N ∧ 1𝑜N) → ⟨𝑥, 1𝑜⟩ ∈ (N × N))
97, 8mpan2 409 . . . . . . . . . 10 (𝑥N → ⟨𝑥, 1𝑜⟩ ∈ (N × N))
10 enqex 6486 . . . . . . . . . . 11 ~Q ∈ V
1110ecelqsi 6188 . . . . . . . . . 10 (⟨𝑥, 1𝑜⟩ ∈ (N × N) → [⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
129, 11syl 14 . . . . . . . . 9 (𝑥N → [⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
13 df-nqqs 6474 . . . . . . . . 9 Q = ((N × N) / ~Q )
1412, 13syl6eleqr 2145 . . . . . . . 8 (𝑥N → [⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~QQ)
1514adantl 266 . . . . . . 7 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ 𝑥N) → [⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~QQ)
16 simplr 490 . . . . . . 7 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ 𝑥N) → 𝐵Q)
17 mulclnq 6502 . . . . . . 7 (([⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~QQ𝐵Q) → ([⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐵) ∈ Q)
1815, 16, 17syl2anc 397 . . . . . 6 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ 𝑥N) → ([⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐵) ∈ Q)
1916, 1syl 14 . . . . . 6 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ 𝑥N) → (*Q𝐵) ∈ Q)
20 ltmnqg 6527 . . . . . 6 ((𝐴Q ∧ ([⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐵) ∈ Q ∧ (*Q𝐵) ∈ Q) → (𝐴 <Q ([⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐵) ↔ ((*Q𝐵) ·Q 𝐴) <Q ((*Q𝐵) ·Q ([⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐵))))
216, 18, 19, 20syl3anc 1144 . . . . 5 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ 𝑥N) → (𝐴 <Q ([⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐵) ↔ ((*Q𝐵) ·Q 𝐴) <Q ((*Q𝐵) ·Q ([⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐵))))
22 mulcomnqg 6509 . . . . . . 7 (((*Q𝐵) ∈ Q𝐴Q) → ((*Q𝐵) ·Q 𝐴) = (𝐴 ·Q (*Q𝐵)))
2319, 6, 22syl2anc 397 . . . . . 6 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ 𝑥N) → ((*Q𝐵) ·Q 𝐴) = (𝐴 ·Q (*Q𝐵)))
24 mulcomnqg 6509 . . . . . . . 8 (((*Q𝐵) ∈ Q ∧ ([⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐵) ∈ Q) → ((*Q𝐵) ·Q ([⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐵)) = (([⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐵) ·Q (*Q𝐵)))
2519, 18, 24syl2anc 397 . . . . . . 7 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ 𝑥N) → ((*Q𝐵) ·Q ([⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐵)) = (([⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐵) ·Q (*Q𝐵)))
26 mulassnqg 6510 . . . . . . . . 9 (([⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~QQ𝐵Q ∧ (*Q𝐵) ∈ Q) → (([⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐵) ·Q (*Q𝐵)) = ([⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q ·Q (𝐵 ·Q (*Q𝐵))))
2715, 16, 19, 26syl3anc 1144 . . . . . . . 8 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ 𝑥N) → (([⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐵) ·Q (*Q𝐵)) = ([⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q ·Q (𝐵 ·Q (*Q𝐵))))
28 recidnq 6519 . . . . . . . . . 10 (𝐵Q → (𝐵 ·Q (*Q𝐵)) = 1Q)
2928oveq2d 5553 . . . . . . . . 9 (𝐵Q → ([⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q ·Q (𝐵 ·Q (*Q𝐵))) = ([⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 1Q))
3016, 29syl 14 . . . . . . . 8 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ 𝑥N) → ([⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q ·Q (𝐵 ·Q (*Q𝐵))) = ([⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 1Q))
31 mulidnq 6515 . . . . . . . . 9 ([⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~QQ → ([⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 1Q) = [⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q )
3215, 31syl 14 . . . . . . . 8 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ 𝑥N) → ([⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 1Q) = [⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q )
3327, 30, 323eqtrd 2090 . . . . . . 7 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ 𝑥N) → (([⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐵) ·Q (*Q𝐵)) = [⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q )
3425, 33eqtrd 2086 . . . . . 6 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ 𝑥N) → ((*Q𝐵) ·Q ([⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐵)) = [⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q )
3523, 34breq12d 3802 . . . . 5 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ 𝑥N) → (((*Q𝐵) ·Q 𝐴) <Q ((*Q𝐵) ·Q ([⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐵)) ↔ (𝐴 ·Q (*Q𝐵)) <Q [⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q ))
3621, 35bitrd 181 . . . 4 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ 𝑥N) → (𝐴 <Q ([⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐵) ↔ (𝐴 ·Q (*Q𝐵)) <Q [⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q ))
3736biimprd 151 . . 3 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ 𝑥N) → ((𝐴 ·Q (*Q𝐵)) <Q [⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q𝐴 <Q ([⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐵)))
3837reximdva 2436 . 2 ((𝐴Q𝐵Q) → (∃𝑥N (𝐴 ·Q (*Q𝐵)) <Q [⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q → ∃𝑥N 𝐴 <Q ([⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐵)))
395, 38mpd 13 1 ((𝐴Q𝐵Q) → ∃𝑥N 𝐴 <Q ([⟨𝑥, 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102   = wceq 1257  wcel 1407  wrex 2322  cop 3403   class class class wbr 3789   × cxp 4368  cfv 4927  (class class class)co 5537  1𝑜c1o 6022  [cec 6132   / cqs 6133  Ncnpi 6398   ~Q ceq 6405  Qcnq 6406  1Qc1q 6407   ·Q cmq 6409  *Qcrq 6410   <Q cltq 6411
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 552  ax-in2 553  ax-io 638  ax-5 1350  ax-7 1351  ax-gen 1352  ax-ie1 1396  ax-ie2 1397  ax-8 1409  ax-10 1410  ax-11 1411  ax-i12 1412  ax-bndl 1413  ax-4 1414  ax-13 1418  ax-14 1419  ax-17 1433  ax-i9 1437  ax-ial 1441  ax-i5r 1442  ax-ext 2036  ax-coll 3897  ax-sep 3900  ax-nul 3908  ax-pow 3952  ax-pr 3969  ax-un 4195  ax-setind 4287  ax-iinf 4336
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 752  df-3or 895  df-3an 896  df-tru 1260  df-fal 1263  df-nf 1364  df-sb 1660  df-eu 1917  df-mo 1918  df-clab 2041  df-cleq 2047  df-clel 2050  df-nfc 2181  df-ne 2219  df-ral 2326  df-rex 2327  df-reu 2328  df-rab 2330  df-v 2574  df-sbc 2785  df-csb 2878  df-dif 2945  df-un 2947  df-in 2949  df-ss 2956  df-nul 3250  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3606  df-int 3641  df-iun 3684  df-br 3790  df-opab 3844  df-mpt 3845  df-tr 3880  df-eprel 4051  df-id 4055  df-iord 4128  df-on 4130  df-suc 4133  df-iom 4339  df-xp 4376  df-rel 4377  df-cnv 4378  df-co 4379  df-dm 4380  df-rn 4381  df-res 4382  df-ima 4383  df-iota 4892  df-fun 4929  df-fn 4930  df-f 4931  df-f1 4932  df-fo 4933  df-f1o 4934  df-fv 4935  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-recs 5948  df-irdg 5985  df-1o 6029  df-oadd 6033  df-omul 6034  df-er 6134  df-ec 6136  df-qs 6140  df-ni 6430  df-pli 6431  df-mi 6432  df-lti 6433  df-mpq 6471  df-enq 6473  df-nqqs 6474  df-mqqs 6476  df-1nqqs 6477  df-rq 6478  df-ltnqqs 6479
This theorem is referenced by:  prarloclemarch2  6545
  Copyright terms: Public domain W3C validator