Theorem prarloclemcalc 7310

Description: Some calculations for prarloc 7311. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prarloclemcalc	⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 <Q (𝐴 +Q 𝑃))

Proof of Theorem prarloclemcalc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprll 526	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝑄 ∈ Q)
2		nqnq0a 7262	. . . . 5 ⊢ ((𝑄 ∈ Q ∧ 𝑄 ∈ Q) → (𝑄 +Q 𝑄) = (𝑄 +Q0 𝑄))
3	1, 1, 2	syl2anc 408	. . . 4 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝑄 +Q 𝑄) = (𝑄 +Q0 𝑄))
4	3	oveq2d 5790	. . 3 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q 𝑄)) = (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)))
5		simpll 518	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
6		simprrl 528	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝑋 ∈ Q)
7		simprrr 529	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝑀 ∈ ω)
8		1pi 7123	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ∈ N
9		opelxpi 4571	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ω ∧ 1o ∈ N) → ⟨𝑀, 1o⟩ ∈ (ω × N))
10	8, 9	mpan2 421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ω → ⟨𝑀, 1o⟩ ∈ (ω × N))
11		enq0ex 7247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ~Q0 ∈ V
12	11	ecelqsi 6483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨𝑀, 1o⟩ ∈ (ω × N) → [⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
13	10, 12	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ω → [⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
14		df-nq0 7233	. . . . . . . . 9 ⊢ Q0 = ((ω × N) / ~Q0 )
15	13, 14	eleqtrrdi 2233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ω → [⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ∈ Q0)
16	7, 15	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → [⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ∈ Q0)
17		nqnq0 7249	. . . . . . . 8 ⊢ Q ⊆ Q0
18	17, 1	sseldi 3095	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝑄 ∈ Q0)
19		mulclnq0 7260	. . . . . . 7 ⊢ (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ∈ Q0 ∧ 𝑄 ∈ Q0) → ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) ∈ Q0)
20	16, 18, 19	syl2anc 408	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) ∈ Q0)
21		nqpnq0nq 7261	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ Q ∧ ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) ∈ Q0) → (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∈ Q)
22	6, 20, 21	syl2anc 408	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∈ Q)
23	5, 22	eqeltrd 2216	. . . 4 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝐴 ∈ Q)
24		addclnq 7183	. . . . 5 ⊢ ((𝑄 ∈ Q ∧ 𝑄 ∈ Q) → (𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q)
25	1, 1, 24	syl2anc 408	. . . 4 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q)
26		nqnq0a 7262	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q) → (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)) = (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q 𝑄)))
27	23, 25, 26	syl2anc 408	. . 3 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)) = (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q 𝑄)))
28		simplr 519	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄)))
29		2onn 6417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2o ∈ ω
30		2on0 6323	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2o ≠ ∅
31		elni 7116	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2o ∈ N ↔ (2o ∈ ω ∧ 2o ≠ ∅))
32	29, 30, 31	mpbir2an 926	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2o ∈ N
33		nnppipi 7151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ω ∧ 2o ∈ N) → (𝑀 +o 2o) ∈ N)
34	32, 33	mpan2 421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ω → (𝑀 +o 2o) ∈ N)
35		opelxpi 4571	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 +o 2o) ∈ N ∧ 1o ∈ N) → ⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩ ∈ (N × N))
36	34, 8, 35	sylancl 409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ω → ⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩ ∈ (N × N))
37		enqex 7168	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ~Q ∈ V
38	37	ecelqsi 6483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
39	36, 38	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ω → [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
40		df-nqqs 7156	. . . . . . . . . 10 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
41	39, 40	eleqtrrdi 2233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ω → [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ∈ Q)
42	7, 41	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ∈ Q)
43		mulclnq 7184	. . . . . . . 8 ⊢ (([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ∈ Q ∧ 𝑄 ∈ Q) → ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄) ∈ Q)
44	42, 1, 43	syl2anc 408	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄) ∈ Q)
45		nqnq0a 7262	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ Q ∧ ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄) ∈ Q) → (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄)) = (𝑋 +Q0 ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄)))
46	6, 44, 45	syl2anc 408	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄)) = (𝑋 +Q0 ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄)))
47		nqnq0m 7263	. . . . . . . . 9 ⊢ (([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ∈ Q ∧ 𝑄 ∈ Q) → ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄) = ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q0 𝑄))
48	42, 1, 47	syl2anc 408	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄) = ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q0 𝑄))
49		nqnq0pi 7246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 +o 2o) ∈ N ∧ 1o ∈ N) → [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 = [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q )
50	34, 8, 49	sylancl 409	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ω → [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 = [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q )
51	7, 50	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 = [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q )
52	51	oveq1d 5789	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) = ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q0 𝑄))
53	48, 52	eqtr4d 2175	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄) = ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄))
54	53	oveq2d 5790	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝑋 +Q0 ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄)) = (𝑋 +Q0 ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
55	28, 46, 54	3eqtrd 2176	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 = (𝑋 +Q0 ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
56		nnanq0 7266	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ω ∧ 2o ∈ ω ∧ 1o ∈ N) → [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 = ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ))
57	8, 56	mp3an3 1304	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ω ∧ 2o ∈ ω) → [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 = ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ))
58	7, 29, 57	sylancl 409	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → [⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 = ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ))
59	58	oveq1d 5789	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) = (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ) ·Q0 𝑄))
60		opelxpi 4571	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ 1o ∈ N) → ⟨2o, 1o⟩ ∈ (ω × N))
61	29, 8, 60	mp2an 422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⟨2o, 1o⟩ ∈ (ω × N)
62	11	ecelqsi 6483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨2o, 1o⟩ ∈ (ω × N) → [⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
63	61, 62	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ [⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ∈ ((ω × N) / ~Q0 )
64	63, 14	eleqtrri 2215	. . . . . . . . 9 ⊢ [⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ∈ Q0
65		distnq0r 7271	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑄 ∈ Q0 ∧ [⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ∈ Q0 ∧ [⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ∈ Q0) → (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ) ·Q0 𝑄) = (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
66	64, 65	mp3an3 1304	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄 ∈ Q0 ∧ [⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ∈ Q0) → (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ) ·Q0 𝑄) = (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
67	18, 16, 66	syl2anc 408	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ) ·Q0 𝑄) = (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
68	59, 67	eqtrd 2172	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) = (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
69	68	oveq2d 5790	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝑋 +Q0 ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) = (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄))))
70		nq02m 7273	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 ∈ Q0 → ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) = (𝑄 +Q0 𝑄))
71	70	oveq2d 5790	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 ∈ Q0 → (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) = (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)))
72	71	oveq2d 5790	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 ∈ Q0 → (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄))) = (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄))))
73	18, 72	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄))) = (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄))))
74	17, 6	sseldi 3095	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝑋 ∈ Q0)
75		addclnq0 7259	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄 ∈ Q0 ∧ 𝑄 ∈ Q0) → (𝑄 +Q0 𝑄) ∈ Q0)
76	18, 18, 75	syl2anc 408	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝑄 +Q0 𝑄) ∈ Q0)
77		addassnq0 7270	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ Q0 ∧ ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) ∈ Q0 ∧ (𝑄 +Q0 𝑄) ∈ Q0) → ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)) = (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄))))
78	74, 20, 76, 77	syl3anc 1216	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)) = (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄))))
79	73, 78	eqtr4d 2175	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2o, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄))) = ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)))
80	55, 69, 79	3eqtrd 2176	. . . 4 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 = ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)))
81		oveq1 5781	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) → (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)) = ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)))
82	81	eqeq2d 2151	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) → (𝐵 = (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)) ↔ 𝐵 = ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄))))
83	5, 82	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝐵 = (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)) ↔ 𝐵 = ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄))))
84	80, 83	mpbird 166	. . 3 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 = (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)))
85	4, 27, 84	3eqtr4rd 2183	. 2 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 = (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)))
86		simprlr 527	. . 3 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃)
87		ltrelnq 7173	. . . . . 6 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
88	87	brel 4591	. . . . 5 ⊢ ((𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃 → ((𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q ∧ 𝑃 ∈ Q))
89	86, 88	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → ((𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q ∧ 𝑃 ∈ Q))
90		ltanqg 7208	. . . . 5 ⊢ (((𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q ∧ 𝑃 ∈ Q ∧ 𝐴 ∈ Q) → ((𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃 ↔ (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)) <Q (𝐴 +Q 𝑃)))
91	90	3expa 1181	. . . 4 ⊢ ((((𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ 𝐴 ∈ Q) → ((𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃 ↔ (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)) <Q (𝐴 +Q 𝑃)))
92	89, 23, 91	syl2anc 408	. . 3 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → ((𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃 ↔ (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)) <Q (𝐴 +Q 𝑃)))
93	86, 92	mpbid 146	. 2 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)) <Q (𝐴 +Q 𝑃))
94	85, 93	eqbrtrd 3950	1 ⊢ (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1o⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +o 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄 ∈ Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ Q ∧ 𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 <Q (𝐴 +Q 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   ≠ wne 2308  ∅c0 3363  ⟨cop 3530   class class class wbr 3929  ωcom 4504   × cxp 4537  (class class class)co 5774  1_oc1o 6306  2_oc2o 6307   +_o coa 6310  [cec 6427   / cqs 6428  Ncnpi 7080   ~_Q ceq 7087  Qcnq 7088   +_Q cplq 7090   ·_Q cmq 7091   <_Q cltq 7093   ~_Q0 ceq0 7094  Q₀cnq0 7095   +_Q0 cplq0 7097   ·_Q0 cmq0 7098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-2o 6314  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7112  df-pli 7113  df-mi 7114  df-lti 7115  df-plpq 7152  df-mpq 7153  df-enq 7155  df-nqqs 7156  df-plqqs 7157  df-mqqs 7158  df-ltnqqs 7161  df-enq0 7232  df-nq0 7233  df-plq0 7235  df-mq0 7236

This theorem is referenced by:  prarloc  7311