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Theorem prarloclemcalc 6628
Description: Some calculations for prarloc 6629. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclemcalc (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 <Q (𝐴 +Q 𝑃))

Proof of Theorem prarloclemcalc
StepHypRef Expression
1 simprll 497 . . . . 5 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → 𝑄Q)
2 nqnq0a 6580 . . . . 5 ((𝑄Q𝑄Q) → (𝑄 +Q 𝑄) = (𝑄 +Q0 𝑄))
31, 1, 2syl2anc 397 . . . 4 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → (𝑄 +Q 𝑄) = (𝑄 +Q0 𝑄))
43oveq2d 5553 . . 3 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q 𝑄)) = (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)))
5 simpll 489 . . . . 5 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → 𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
6 simprrl 499 . . . . . 6 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → 𝑋Q)
7 simprrr 500 . . . . . . . 8 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → 𝑀 ∈ ω)
8 1pi 6441 . . . . . . . . . . 11 1𝑜N
9 opelxpi 4401 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ω ∧ 1𝑜N) → ⟨𝑀, 1𝑜⟩ ∈ (ω × N))
108, 9mpan2 409 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ω → ⟨𝑀, 1𝑜⟩ ∈ (ω × N))
11 enq0ex 6565 . . . . . . . . . . 11 ~Q0 ∈ V
1211ecelqsi 6188 . . . . . . . . . 10 (⟨𝑀, 1𝑜⟩ ∈ (ω × N) → [⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
1310, 12syl 14 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ω → [⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
14 df-nq0 6551 . . . . . . . . 9 Q0 = ((ω × N) / ~Q0 )
1513, 14syl6eleqr 2145 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ω → [⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0Q0)
167, 15syl 14 . . . . . . 7 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → [⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0Q0)
17 nqnq0 6567 . . . . . . . 8 QQ0
1817, 1sseldi 2968 . . . . . . 7 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → 𝑄Q0)
19 mulclnq0 6578 . . . . . . 7 (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0Q0𝑄Q0) → ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) ∈ Q0)
2016, 18, 19syl2anc 397 . . . . . 6 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) ∈ Q0)
21 nqpnq0nq 6579 . . . . . 6 ((𝑋Q ∧ ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) ∈ Q0) → (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∈ Q)
226, 20, 21syl2anc 397 . . . . 5 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∈ Q)
235, 22eqeltrd 2128 . . . 4 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → 𝐴Q)
24 addclnq 6501 . . . . 5 ((𝑄Q𝑄Q) → (𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q)
251, 1, 24syl2anc 397 . . . 4 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → (𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q)
26 nqnq0a 6580 . . . 4 ((𝐴Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q) → (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)) = (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q 𝑄)))
2723, 25, 26syl2anc 397 . . 3 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)) = (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q 𝑄)))
28 simplr 490 . . . . . 6 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄)))
29 2onn 6122 . . . . . . . . . . . . . 14 2𝑜 ∈ ω
30 2on0 6038 . . . . . . . . . . . . . 14 2𝑜 ≠ ∅
31 elni 6434 . . . . . . . . . . . . . 14 (2𝑜N ↔ (2𝑜 ∈ ω ∧ 2𝑜 ≠ ∅))
3229, 30, 31mpbir2an 858 . . . . . . . . . . . . 13 2𝑜N
33 nnppipi 6469 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ω ∧ 2𝑜N) → (𝑀 +𝑜 2𝑜) ∈ N)
3432, 33mpan2 409 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ω → (𝑀 +𝑜 2𝑜) ∈ N)
35 opelxpi 4401 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 +𝑜 2𝑜) ∈ N ∧ 1𝑜N) → ⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩ ∈ (N × N))
3634, 8, 35sylancl 398 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ω → ⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩ ∈ (N × N))
37 enqex 6486 . . . . . . . . . . . 12 ~Q ∈ V
3837ecelqsi 6188 . . . . . . . . . . 11 (⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩ ∈ (N × N) → [⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
3936, 38syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ω → [⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
40 df-nqqs 6474 . . . . . . . . . 10 Q = ((N × N) / ~Q )
4139, 40syl6eleqr 2145 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ω → [⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~QQ)
427, 41syl 14 . . . . . . . 8 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → [⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~QQ)
43 mulclnq 6502 . . . . . . . 8 (([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~QQ𝑄Q) → ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄) ∈ Q)
4442, 1, 43syl2anc 397 . . . . . . 7 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄) ∈ Q)
45 nqnq0a 6580 . . . . . . 7 ((𝑋Q ∧ ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄) ∈ Q) → (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄)) = (𝑋 +Q0 ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄)))
466, 44, 45syl2anc 397 . . . . . 6 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄)) = (𝑋 +Q0 ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄)))
47 nqnq0m 6581 . . . . . . . . 9 (([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~QQ𝑄Q) → ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄) = ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q0 𝑄))
4842, 1, 47syl2anc 397 . . . . . . . 8 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄) = ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q0 𝑄))
49 nqnq0pi 6564 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 +𝑜 2𝑜) ∈ N ∧ 1𝑜N) → [⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 = [⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
5034, 8, 49sylancl 398 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ω → [⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 = [⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
517, 50syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → [⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 = [⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
5251oveq1d 5552 . . . . . . . 8 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) = ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q0 𝑄))
5348, 52eqtr4d 2089 . . . . . . 7 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄) = ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄))
5453oveq2d 5553 . . . . . 6 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → (𝑋 +Q0 ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄)) = (𝑋 +Q0 ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
5528, 46, 543eqtrd 2090 . . . . 5 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 = (𝑋 +Q0 ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
56 nnanq0 6584 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ω ∧ 2𝑜 ∈ ω ∧ 1𝑜N) → [⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 = ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ))
578, 56mp3an3 1230 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ω ∧ 2𝑜 ∈ ω) → [⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 = ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ))
587, 29, 57sylancl 398 . . . . . . . 8 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → [⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 = ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ))
5958oveq1d 5552 . . . . . . 7 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) = (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ) ·Q0 𝑄))
60 opelxpi 4401 . . . . . . . . . . . 12 ((2𝑜 ∈ ω ∧ 1𝑜N) → ⟨2𝑜, 1𝑜⟩ ∈ (ω × N))
6129, 8, 60mp2an 410 . . . . . . . . . . 11 ⟨2𝑜, 1𝑜⟩ ∈ (ω × N)
6211ecelqsi 6188 . . . . . . . . . . 11 (⟨2𝑜, 1𝑜⟩ ∈ (ω × N) → [⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
6361, 62ax-mp 7 . . . . . . . . . 10 [⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ∈ ((ω × N) / ~Q0 )
6463, 14eleqtrri 2127 . . . . . . . . 9 [⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0Q0
65 distnq0r 6589 . . . . . . . . 9 ((𝑄Q0 ∧ [⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0Q0 ∧ [⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0Q0) → (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ) ·Q0 𝑄) = (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
6664, 65mp3an3 1230 . . . . . . . 8 ((𝑄Q0 ∧ [⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0Q0) → (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ) ·Q0 𝑄) = (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
6718, 16, 66syl2anc 397 . . . . . . 7 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ) ·Q0 𝑄) = (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
6859, 67eqtrd 2086 . . . . . 6 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) = (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
6968oveq2d 5553 . . . . 5 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → (𝑋 +Q0 ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) = (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄))))
70 nq02m 6591 . . . . . . . . 9 (𝑄Q0 → ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) = (𝑄 +Q0 𝑄))
7170oveq2d 5553 . . . . . . . 8 (𝑄Q0 → (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) = (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)))
7271oveq2d 5553 . . . . . . 7 (𝑄Q0 → (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄))) = (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄))))
7318, 72syl 14 . . . . . 6 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄))) = (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄))))
7417, 6sseldi 2968 . . . . . . 7 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → 𝑋Q0)
75 addclnq0 6577 . . . . . . . 8 ((𝑄Q0𝑄Q0) → (𝑄 +Q0 𝑄) ∈ Q0)
7618, 18, 75syl2anc 397 . . . . . . 7 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → (𝑄 +Q0 𝑄) ∈ Q0)
77 addassnq0 6588 . . . . . . 7 ((𝑋Q0 ∧ ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) ∈ Q0 ∧ (𝑄 +Q0 𝑄) ∈ Q0) → ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)) = (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄))))
7874, 20, 76, 77syl3anc 1144 . . . . . 6 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)) = (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄))))
7973, 78eqtr4d 2089 . . . . 5 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄))) = ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)))
8055, 69, 793eqtrd 2090 . . . 4 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 = ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)))
81 oveq1 5544 . . . . . 6 (𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) → (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)) = ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)))
8281eqeq2d 2065 . . . . 5 (𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) → (𝐵 = (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)) ↔ 𝐵 = ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄))))
835, 82syl 14 . . . 4 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → (𝐵 = (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)) ↔ 𝐵 = ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄))))
8480, 83mpbird 160 . . 3 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 = (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)))
854, 27, 843eqtr4rd 2097 . 2 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 = (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)))
86 simprlr 498 . . 3 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃)
87 ltrelnq 6491 . . . . . 6 <Q ⊆ (Q × Q)
8887brel 4417 . . . . 5 ((𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃 → ((𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q𝑃Q))
8986, 88syl 14 . . . 4 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → ((𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q𝑃Q))
90 ltanqg 6526 . . . . 5 (((𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q𝑃Q𝐴Q) → ((𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃 ↔ (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)) <Q (𝐴 +Q 𝑃)))
91903expa 1113 . . . 4 ((((𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q𝑃Q) ∧ 𝐴Q) → ((𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃 ↔ (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)) <Q (𝐴 +Q 𝑃)))
9289, 23, 91syl2anc 397 . . 3 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → ((𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃 ↔ (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)) <Q (𝐴 +Q 𝑃)))
9386, 92mpbid 139 . 2 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)) <Q (𝐴 +Q 𝑃))
9485, 93eqbrtrd 3809 1 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 <Q (𝐴 +Q 𝑃))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102   = wceq 1257  wcel 1407  wne 2218  c0 3249  cop 3403   class class class wbr 3789  ωcom 4338   × cxp 4368  (class class class)co 5537  1𝑜c1o 6022  2𝑜c2o 6023   +𝑜 coa 6026  [cec 6132   / cqs 6133  Ncnpi 6398   ~Q ceq 6405  Qcnq 6406   +Q cplq 6408   ·Q cmq 6409   <Q cltq 6411   ~Q0 ceq0 6412  Q0cnq0 6413   +Q0 cplq0 6415   ·Q0 cmq0 6416
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 552  ax-in2 553  ax-io 638  ax-5 1350  ax-7 1351  ax-gen 1352  ax-ie1 1396  ax-ie2 1397  ax-8 1409  ax-10 1410  ax-11 1411  ax-i12 1412  ax-bndl 1413  ax-4 1414  ax-13 1418  ax-14 1419  ax-17 1433  ax-i9 1437  ax-ial 1441  ax-i5r 1442  ax-ext 2036  ax-coll 3897  ax-sep 3900  ax-nul 3908  ax-pow 3952  ax-pr 3969  ax-un 4195  ax-setind 4287  ax-iinf 4336
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 752  df-3or 895  df-3an 896  df-tru 1260  df-fal 1263  df-nf 1364  df-sb 1660  df-eu 1917  df-mo 1918  df-clab 2041  df-cleq 2047  df-clel 2050  df-nfc 2181  df-ne 2219  df-ral 2326  df-rex 2327  df-reu 2328  df-rab 2330  df-v 2574  df-sbc 2785  df-csb 2878  df-dif 2945  df-un 2947  df-in 2949  df-ss 2956  df-nul 3250  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3606  df-int 3641  df-iun 3684  df-br 3790  df-opab 3844  df-mpt 3845  df-tr 3880  df-eprel 4051  df-id 4055  df-iord 4128  df-on 4130  df-suc 4133  df-iom 4339  df-xp 4376  df-rel 4377  df-cnv 4378  df-co 4379  df-dm 4380  df-rn 4381  df-res 4382  df-ima 4383  df-iota 4892  df-fun 4929  df-fn 4930  df-f 4931  df-f1 4932  df-fo 4933  df-f1o 4934  df-fv 4935  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-recs 5948  df-irdg 5985  df-1o 6029  df-2o 6030  df-oadd 6033  df-omul 6034  df-er 6134  df-ec 6136  df-qs 6140  df-ni 6430  df-pli 6431  df-mi 6432  df-lti 6433  df-plpq 6470  df-mpq 6471  df-enq 6473  df-nqqs 6474  df-plqqs 6475  df-mqqs 6476  df-ltnqqs 6479  df-enq0 6550  df-nq0 6551  df-plq0 6553  df-mq0 6554
This theorem is referenced by:  prarloc  6629
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