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Theorem prarloclemcalc 6754
Description: Some calculations for prarloc 6755. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclemcalc (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 <Q (𝐴 +Q 𝑃))

Proof of Theorem prarloclemcalc
StepHypRef Expression
1 simprll 504 . . . . 5 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → 𝑄Q)
2 nqnq0a 6706 . . . . 5 ((𝑄Q𝑄Q) → (𝑄 +Q 𝑄) = (𝑄 +Q0 𝑄))
31, 1, 2syl2anc 403 . . . 4 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → (𝑄 +Q 𝑄) = (𝑄 +Q0 𝑄))
43oveq2d 5559 . . 3 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q 𝑄)) = (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)))
5 simpll 496 . . . . 5 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → 𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
6 simprrl 506 . . . . . 6 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → 𝑋Q)
7 simprrr 507 . . . . . . . 8 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → 𝑀 ∈ ω)
8 1pi 6567 . . . . . . . . . . 11 1𝑜N
9 opelxpi 4402 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ω ∧ 1𝑜N) → ⟨𝑀, 1𝑜⟩ ∈ (ω × N))
108, 9mpan2 416 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ω → ⟨𝑀, 1𝑜⟩ ∈ (ω × N))
11 enq0ex 6691 . . . . . . . . . . 11 ~Q0 ∈ V
1211ecelqsi 6226 . . . . . . . . . 10 (⟨𝑀, 1𝑜⟩ ∈ (ω × N) → [⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
1310, 12syl 14 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ω → [⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
14 df-nq0 6677 . . . . . . . . 9 Q0 = ((ω × N) / ~Q0 )
1513, 14syl6eleqr 2173 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ω → [⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0Q0)
167, 15syl 14 . . . . . . 7 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → [⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0Q0)
17 nqnq0 6693 . . . . . . . 8 QQ0
1817, 1sseldi 2998 . . . . . . 7 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → 𝑄Q0)
19 mulclnq0 6704 . . . . . . 7 (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0Q0𝑄Q0) → ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) ∈ Q0)
2016, 18, 19syl2anc 403 . . . . . 6 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) ∈ Q0)
21 nqpnq0nq 6705 . . . . . 6 ((𝑋Q ∧ ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) ∈ Q0) → (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∈ Q)
226, 20, 21syl2anc 403 . . . . 5 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∈ Q)
235, 22eqeltrd 2156 . . . 4 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → 𝐴Q)
24 addclnq 6627 . . . . 5 ((𝑄Q𝑄Q) → (𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q)
251, 1, 24syl2anc 403 . . . 4 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → (𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q)
26 nqnq0a 6706 . . . 4 ((𝐴Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q) → (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)) = (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q 𝑄)))
2723, 25, 26syl2anc 403 . . 3 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)) = (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q 𝑄)))
28 simplr 497 . . . . . 6 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄)))
29 2onn 6160 . . . . . . . . . . . . . 14 2𝑜 ∈ ω
30 2on0 6074 . . . . . . . . . . . . . 14 2𝑜 ≠ ∅
31 elni 6560 . . . . . . . . . . . . . 14 (2𝑜N ↔ (2𝑜 ∈ ω ∧ 2𝑜 ≠ ∅))
3229, 30, 31mpbir2an 884 . . . . . . . . . . . . 13 2𝑜N
33 nnppipi 6595 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ω ∧ 2𝑜N) → (𝑀 +𝑜 2𝑜) ∈ N)
3432, 33mpan2 416 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ω → (𝑀 +𝑜 2𝑜) ∈ N)
35 opelxpi 4402 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 +𝑜 2𝑜) ∈ N ∧ 1𝑜N) → ⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩ ∈ (N × N))
3634, 8, 35sylancl 404 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ω → ⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩ ∈ (N × N))
37 enqex 6612 . . . . . . . . . . . 12 ~Q ∈ V
3837ecelqsi 6226 . . . . . . . . . . 11 (⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩ ∈ (N × N) → [⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
3936, 38syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ω → [⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
40 df-nqqs 6600 . . . . . . . . . 10 Q = ((N × N) / ~Q )
4139, 40syl6eleqr 2173 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ω → [⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~QQ)
427, 41syl 14 . . . . . . . 8 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → [⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~QQ)
43 mulclnq 6628 . . . . . . . 8 (([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~QQ𝑄Q) → ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄) ∈ Q)
4442, 1, 43syl2anc 403 . . . . . . 7 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄) ∈ Q)
45 nqnq0a 6706 . . . . . . 7 ((𝑋Q ∧ ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄) ∈ Q) → (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄)) = (𝑋 +Q0 ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄)))
466, 44, 45syl2anc 403 . . . . . 6 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄)) = (𝑋 +Q0 ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄)))
47 nqnq0m 6707 . . . . . . . . 9 (([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~QQ𝑄Q) → ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄) = ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q0 𝑄))
4842, 1, 47syl2anc 403 . . . . . . . 8 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄) = ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q0 𝑄))
49 nqnq0pi 6690 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 +𝑜 2𝑜) ∈ N ∧ 1𝑜N) → [⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 = [⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
5034, 8, 49sylancl 404 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ω → [⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 = [⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
517, 50syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → [⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 = [⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q )
5251oveq1d 5558 . . . . . . . 8 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) = ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q0 𝑄))
5348, 52eqtr4d 2117 . . . . . . 7 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄) = ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄))
5453oveq2d 5559 . . . . . 6 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → (𝑋 +Q0 ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄)) = (𝑋 +Q0 ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
5528, 46, 543eqtrd 2118 . . . . 5 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 = (𝑋 +Q0 ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
56 nnanq0 6710 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ω ∧ 2𝑜 ∈ ω ∧ 1𝑜N) → [⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 = ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ))
578, 56mp3an3 1258 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ω ∧ 2𝑜 ∈ ω) → [⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 = ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ))
587, 29, 57sylancl 404 . . . . . . . 8 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → [⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 = ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ))
5958oveq1d 5558 . . . . . . 7 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) = (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ) ·Q0 𝑄))
60 opelxpi 4402 . . . . . . . . . . . 12 ((2𝑜 ∈ ω ∧ 1𝑜N) → ⟨2𝑜, 1𝑜⟩ ∈ (ω × N))
6129, 8, 60mp2an 417 . . . . . . . . . . 11 ⟨2𝑜, 1𝑜⟩ ∈ (ω × N)
6211ecelqsi 6226 . . . . . . . . . . 11 (⟨2𝑜, 1𝑜⟩ ∈ (ω × N) → [⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ))
6361, 62ax-mp 7 . . . . . . . . . 10 [⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ∈ ((ω × N) / ~Q0 )
6463, 14eleqtrri 2155 . . . . . . . . 9 [⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0Q0
65 distnq0r 6715 . . . . . . . . 9 ((𝑄Q0 ∧ [⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0Q0 ∧ [⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0Q0) → (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ) ·Q0 𝑄) = (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
6664, 65mp3an3 1258 . . . . . . . 8 ((𝑄Q0 ∧ [⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0Q0) → (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ) ·Q0 𝑄) = (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
6718, 16, 66syl2anc 403 . . . . . . 7 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 +Q0 [⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ) ·Q0 𝑄) = (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
6859, 67eqtrd 2114 . . . . . 6 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) = (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)))
6968oveq2d 5559 . . . . 5 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → (𝑋 +Q0 ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) = (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄))))
70 nq02m 6717 . . . . . . . . 9 (𝑄Q0 → ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) = (𝑄 +Q0 𝑄))
7170oveq2d 5559 . . . . . . . 8 (𝑄Q0 → (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) = (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)))
7271oveq2d 5559 . . . . . . 7 (𝑄Q0 → (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄))) = (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄))))
7318, 72syl 14 . . . . . 6 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄))) = (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄))))
7417, 6sseldi 2998 . . . . . . 7 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → 𝑋Q0)
75 addclnq0 6703 . . . . . . . 8 ((𝑄Q0𝑄Q0) → (𝑄 +Q0 𝑄) ∈ Q0)
7618, 18, 75syl2anc 403 . . . . . . 7 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → (𝑄 +Q0 𝑄) ∈ Q0)
77 addassnq0 6714 . . . . . . 7 ((𝑋Q0 ∧ ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) ∈ Q0 ∧ (𝑄 +Q0 𝑄) ∈ Q0) → ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)) = (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄))))
7874, 20, 76, 77syl3anc 1170 . . . . . 6 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)) = (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄))))
7973, 78eqtr4d 2117 . . . . 5 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → (𝑋 +Q0 (([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄) +Q0 ([⟨2𝑜, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄))) = ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)))
8055, 69, 793eqtrd 2118 . . . 4 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 = ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)))
81 oveq1 5550 . . . . . 6 (𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) → (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)) = ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)))
8281eqeq2d 2093 . . . . 5 (𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) → (𝐵 = (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)) ↔ 𝐵 = ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄))))
835, 82syl 14 . . . 4 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → (𝐵 = (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)) ↔ 𝐵 = ((𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄))))
8480, 83mpbird 165 . . 3 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 = (𝐴 +Q0 (𝑄 +Q0 𝑄)))
854, 27, 843eqtr4rd 2125 . 2 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 = (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)))
86 simprlr 505 . . 3 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃)
87 ltrelnq 6617 . . . . . 6 <Q ⊆ (Q × Q)
8887brel 4418 . . . . 5 ((𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃 → ((𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q𝑃Q))
8986, 88syl 14 . . . 4 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → ((𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q𝑃Q))
90 ltanqg 6652 . . . . 5 (((𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q𝑃Q𝐴Q) → ((𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃 ↔ (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)) <Q (𝐴 +Q 𝑃)))
91903expa 1139 . . . 4 ((((𝑄 +Q 𝑄) ∈ Q𝑃Q) ∧ 𝐴Q) → ((𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃 ↔ (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)) <Q (𝐴 +Q 𝑃)))
9289, 23, 91syl2anc 403 . . 3 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → ((𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃 ↔ (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)) <Q (𝐴 +Q 𝑃)))
9386, 92mpbid 145 . 2 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → (𝐴 +Q (𝑄 +Q 𝑄)) <Q (𝐴 +Q 𝑃))
9485, 93eqbrtrd 3813 1 (((𝐴 = (𝑋 +Q0 ([⟨𝑀, 1𝑜⟩] ~Q0 ·Q0 𝑄)) ∧ 𝐵 = (𝑋 +Q ([⟨(𝑀 +𝑜 2𝑜), 1𝑜⟩] ~Q ·Q 𝑄))) ∧ ((𝑄Q ∧ (𝑄 +Q 𝑄) <Q 𝑃) ∧ (𝑋Q𝑀 ∈ ω))) → 𝐵 <Q (𝐴 +Q 𝑃))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1285  wcel 1434  wne 2246  c0 3258  cop 3409   class class class wbr 3793  ωcom 4339   × cxp 4369  (class class class)co 5543  1𝑜c1o 6058  2𝑜c2o 6059   +𝑜 coa 6062  [cec 6170   / cqs 6171  Ncnpi 6524   ~Q ceq 6531  Qcnq 6532   +Q cplq 6534   ·Q cmq 6535   <Q cltq 6537   ~Q0 ceq0 6538  Q0cnq0 6539   +Q0 cplq0 6541   ·Q0 cmq0 6542
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-eprel 4052  df-id 4056  df-iord 4129  df-on 4131  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-irdg 6019  df-1o 6065  df-2o 6066  df-oadd 6069  df-omul 6070  df-er 6172  df-ec 6174  df-qs 6178  df-ni 6556  df-pli 6557  df-mi 6558  df-lti 6559  df-plpq 6596  df-mpq 6597  df-enq 6599  df-nqqs 6600  df-plqqs 6601  df-mqqs 6602  df-ltnqqs 6605  df-enq0 6676  df-nq0 6677  df-plq0 6679  df-mq0 6680
This theorem is referenced by:  prarloc  6755
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