ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prarloclemn GIF version

Theorem prarloclemn 6655
Description: Subtracting two from a positive integer. Lemma for prarloc 6659. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclemn ((𝑁N ∧ 1𝑜 <N 𝑁) → ∃𝑥 ∈ ω (2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁)
Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem prarloclemn
StepHypRef Expression
1 simpl 106 . . 3 ((𝑁N ∧ 1𝑜 <N 𝑁) → 𝑁N)
2 1pi 6471 . . . . 5 1𝑜N
3 ltpiord 6475 . . . . 5 ((1𝑜N𝑁N) → (1𝑜 <N 𝑁 ↔ 1𝑜𝑁))
42, 3mpan 408 . . . 4 (𝑁N → (1𝑜 <N 𝑁 ↔ 1𝑜𝑁))
54biimpa 284 . . 3 ((𝑁N ∧ 1𝑜 <N 𝑁) → 1𝑜𝑁)
6 piord 6467 . . . 4 (𝑁N → Ord 𝑁)
7 ordsucss 4258 . . . 4 (Ord 𝑁 → (1𝑜𝑁 → suc 1𝑜𝑁))
86, 7syl 14 . . 3 (𝑁N → (1𝑜𝑁 → suc 1𝑜𝑁))
91, 5, 8sylc 60 . 2 ((𝑁N ∧ 1𝑜 <N 𝑁) → suc 1𝑜𝑁)
10 df-2o 6033 . . . 4 2𝑜 = suc 1𝑜
1110sseq1i 2997 . . 3 (2𝑜𝑁 ↔ suc 1𝑜𝑁)
12 pinn 6465 . . . . 5 (𝑁N𝑁 ∈ ω)
13 2onn 6125 . . . . . 6 2𝑜 ∈ ω
14 nnawordex 6132 . . . . . 6 ((2𝑜 ∈ ω ∧ 𝑁 ∈ ω) → (2𝑜𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁))
1513, 14mpan 408 . . . . 5 (𝑁 ∈ ω → (2𝑜𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁))
1612, 15syl 14 . . . 4 (𝑁N → (2𝑜𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁))
1716adantr 265 . . 3 ((𝑁N ∧ 1𝑜 <N 𝑁) → (2𝑜𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁))
1811, 17syl5bbr 187 . 2 ((𝑁N ∧ 1𝑜 <N 𝑁) → (suc 1𝑜𝑁 ↔ ∃𝑥 ∈ ω (2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁))
199, 18mpbid 139 1 ((𝑁N ∧ 1𝑜 <N 𝑁) → ∃𝑥 ∈ ω (2𝑜 +𝑜 𝑥) = 𝑁)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102   = wceq 1259  wcel 1409  wrex 2324  wss 2945   class class class wbr 3792  Ord word 4127  suc csuc 4130  ωcom 4341  (class class class)co 5540  1𝑜c1o 6025  2𝑜c2o 6026   +𝑜 coa 6029  Ncnpi 6428   <N clti 6431
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-ni 6460  df-lti 6463
This theorem is referenced by:  prarloclem5  6656
  Copyright terms: Public domain W3C validator