ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prcdnql GIF version

Theorem prcdnql 7260
Description: A lower cut is closed downwards under the positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
prcdnql ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → (𝐶 <Q 𝐵𝐶𝐿))

Proof of Theorem prcdnql
Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelnq 7141 . . . . . 6 <Q ⊆ (Q × Q)
21brel 4561 . . . . 5 (𝐶 <Q 𝐵 → (𝐶Q𝐵Q))
32simpld 111 . . . 4 (𝐶 <Q 𝐵𝐶Q)
43adantl 275 . . 3 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) ∧ 𝐶 <Q 𝐵) → 𝐶Q)
5 breq1 3902 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐶 → (𝑐 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐵))
6 eleq1 2180 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐶 → (𝑐𝐿𝐶𝐿))
75, 6imbi12d 233 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐶 → ((𝑐 <Q 𝐵𝑐𝐿) ↔ (𝐶 <Q 𝐵𝐶𝐿)))
87imbi2d 229 . . . . 5 (𝑐 = 𝐶 → (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → (𝑐 <Q 𝐵𝑐𝐿)) ↔ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → (𝐶 <Q 𝐵𝐶𝐿))))
91brel 4561 . . . . . . . . 9 (𝑐 <Q 𝐵 → (𝑐Q𝐵Q))
109ancomd 265 . . . . . . . 8 (𝑐 <Q 𝐵 → (𝐵Q𝑐Q))
11 an42 561 . . . . . . . . 9 (((𝐵Q𝑐Q) ∧ (𝐵𝐿 ∧ ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)) ↔ ((𝐵Q𝐵𝐿) ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝑐Q)))
12 breq2 3903 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = 𝐵 → (𝑐 <Q 𝑏𝑐 <Q 𝐵))
13 eleq1 2180 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = 𝐵 → (𝑏𝐿𝐵𝐿))
1412, 13anbi12d 464 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝐵 → ((𝑐 <Q 𝑏𝑏𝐿) ↔ (𝑐 <Q 𝐵𝐵𝐿)))
1514rspcev 2763 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵Q ∧ (𝑐 <Q 𝐵𝐵𝐿)) → ∃𝑏Q (𝑐 <Q 𝑏𝑏𝐿))
16 elinp 7250 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑐Q 𝑐𝐿 ∧ ∃𝑏Q 𝑏𝑈)) ∧ ((∀𝑐Q (𝑐𝐿 ↔ ∃𝑏Q (𝑐 <Q 𝑏𝑏𝐿)) ∧ ∀𝑏Q (𝑏𝑈 ↔ ∃𝑐Q (𝑐 <Q 𝑏𝑐𝑈))) ∧ ∀𝑐Q ¬ (𝑐𝐿𝑐𝑈) ∧ ∀𝑐Q𝑏Q (𝑐 <Q 𝑏 → (𝑐𝐿𝑏𝑈)))))
17 simpr1l 1023 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑐Q 𝑐𝐿 ∧ ∃𝑏Q 𝑏𝑈)) ∧ ((∀𝑐Q (𝑐𝐿 ↔ ∃𝑏Q (𝑐 <Q 𝑏𝑏𝐿)) ∧ ∀𝑏Q (𝑏𝑈 ↔ ∃𝑐Q (𝑐 <Q 𝑏𝑐𝑈))) ∧ ∀𝑐Q ¬ (𝑐𝐿𝑐𝑈) ∧ ∀𝑐Q𝑏Q (𝑐 <Q 𝑏 → (𝑐𝐿𝑏𝑈)))) → ∀𝑐Q (𝑐𝐿 ↔ ∃𝑏Q (𝑐 <Q 𝑏𝑏𝐿)))
1816, 17sylbi 120 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∀𝑐Q (𝑐𝐿 ↔ ∃𝑏Q (𝑐 <Q 𝑏𝑏𝐿)))
1918r19.21bi 2497 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝑐Q) → (𝑐𝐿 ↔ ∃𝑏Q (𝑐 <Q 𝑏𝑏𝐿)))
2015, 19syl5ibrcom 156 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵Q ∧ (𝑐 <Q 𝐵𝐵𝐿)) → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝑐Q) → 𝑐𝐿))
21203impb 1162 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵Q𝑐 <Q 𝐵𝐵𝐿) → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝑐Q) → 𝑐𝐿))
22213com12 1170 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐 <Q 𝐵𝐵Q𝐵𝐿) → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝑐Q) → 𝑐𝐿))
23223expib 1169 . . . . . . . . . 10 (𝑐 <Q 𝐵 → ((𝐵Q𝐵𝐿) → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝑐Q) → 𝑐𝐿)))
2423impd 252 . . . . . . . . 9 (𝑐 <Q 𝐵 → (((𝐵Q𝐵𝐿) ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝑐Q)) → 𝑐𝐿))
2511, 24syl5bi 151 . . . . . . . 8 (𝑐 <Q 𝐵 → (((𝐵Q𝑐Q) ∧ (𝐵𝐿 ∧ ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)) → 𝑐𝐿))
2610, 25mpand 425 . . . . . . 7 (𝑐 <Q 𝐵 → ((𝐵𝐿 ∧ ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P) → 𝑐𝐿))
2726com12 30 . . . . . 6 ((𝐵𝐿 ∧ ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P) → (𝑐 <Q 𝐵𝑐𝐿))
2827ancoms 266 . . . . 5 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → (𝑐 <Q 𝐵𝑐𝐿))
298, 28vtoclg 2720 . . . 4 (𝐶Q → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → (𝐶 <Q 𝐵𝐶𝐿)))
3029impd 252 . . 3 (𝐶Q → (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) ∧ 𝐶 <Q 𝐵) → 𝐶𝐿))
314, 30mpcom 36 . 2 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) ∧ 𝐶 <Q 𝐵) → 𝐶𝐿)
3231ex 114 1 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → (𝐶 <Q 𝐵𝐶𝐿))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 682  w3a 947   = wceq 1316  wcel 1465  wral 2393  wrex 2394  wss 3041  cop 3500   class class class wbr 3899  Qcnq 7056   <Q cltq 7061  Pcnp 7067
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-qs 6403  df-ni 7080  df-nqqs 7124  df-ltnqqs 7129  df-inp 7242
This theorem is referenced by:  prubl  7262  addnqprllem  7303  nqprl  7327  mulnqprl  7344  distrlem4prl  7360  ltprordil  7365  1idprl  7366  ltpopr  7371  ltaddpr  7373  ltexprlemlol  7378  ltexprlemfl  7385  ltexprlemrl  7386  aptiprleml  7415  aptiprlemu  7416  archrecpr  7440  caucvgprprlemml  7470  suplocexprlemrl  7493  suplocexprlemloc  7497
  Copyright terms: Public domain W3C validator