ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prmfac1 GIF version

Theorem prmfac1 10738
Description: The factorial of a number only contains primes less than the base. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
prmfac1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (!‘𝑁)) → 𝑃𝑁)

Proof of Theorem prmfac1
Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5229 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (!‘𝑥) = (!‘0))
21breq2d 3817 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝑃 ∥ (!‘0)))
3 breq2 3809 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (𝑃𝑥𝑃 ≤ 0))
42, 3imbi12d 232 . . . 4 (𝑥 = 0 → ((𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃𝑥) ↔ (𝑃 ∥ (!‘0) → 𝑃 ≤ 0)))
54imbi2d 228 . . 3 (𝑥 = 0 → ((𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃𝑥)) ↔ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘0) → 𝑃 ≤ 0))))
6 fveq2 5229 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (!‘𝑥) = (!‘𝑘))
76breq2d 3817 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝑃 ∥ (!‘𝑘)))
8 breq2 3809 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → (𝑃𝑥𝑃𝑘))
97, 8imbi12d 232 . . . 4 (𝑥 = 𝑘 → ((𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃𝑥) ↔ (𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃𝑘)))
109imbi2d 228 . . 3 (𝑥 = 𝑘 → ((𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃𝑥)) ↔ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃𝑘))))
11 fveq2 5229 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑥) = (!‘(𝑘 + 1)))
1211breq2d 3817 . . . . 5 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1))))
13 breq2 3809 . . . . 5 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝑃𝑥𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))
1412, 13imbi12d 232 . . . 4 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃𝑥) ↔ (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1))))
1514imbi2d 228 . . 3 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃𝑥)) ↔ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))))
16 fveq2 5229 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (!‘𝑥) = (!‘𝑁))
1716breq2d 3817 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝑃 ∥ (!‘𝑁)))
18 breq2 3809 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (𝑃𝑥𝑃𝑁))
1917, 18imbi12d 232 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃𝑥) ↔ (𝑃 ∥ (!‘𝑁) → 𝑃𝑁)))
2019imbi2d 228 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃𝑥)) ↔ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑁) → 𝑃𝑁))))
21 fac0 9804 . . . . 5 (!‘0) = 1
2221breq2i 3813 . . . 4 (𝑃 ∥ (!‘0) ↔ 𝑃 ∥ 1)
23 nprmdvds1 10728 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → ¬ 𝑃 ∥ 1)
2423pm2.21d 582 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ 1 → 𝑃 ≤ 0))
2522, 24syl5bi 150 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘0) → 𝑃 ≤ 0))
26 facp1 9806 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
2726adantr 270 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
2827breq2d 3817 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃 ∥ ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1))))
29 simpr 108 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)
30 faccl 9811 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
3130adantr 270 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
3231nnzd 8601 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → (!‘𝑘) ∈ ℤ)
33 nn0p1nn 8446 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
3433adantr 270 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
3534nnzd 8601 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
36 euclemma 10732 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (!‘𝑘) ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) ↔ (𝑃 ∥ (!‘𝑘) ∨ 𝑃 ∥ (𝑘 + 1))))
3729, 32, 35, 36syl3anc 1170 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) ↔ (𝑃 ∥ (!‘𝑘) ∨ 𝑃 ∥ (𝑘 + 1))))
3828, 37bitrd 186 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑃 ∥ (!‘𝑘) ∨ 𝑃 ∥ (𝑘 + 1))))
39 nn0re 8416 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℝ)
4039adantr 270 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → 𝑘 ∈ ℝ)
4140lep1d 8128 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → 𝑘 ≤ (𝑘 + 1))
42 prmz 10700 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
4342adantl 271 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℤ)
4443zred 8602 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℝ)
4534nnred 8171 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
46 letr 7313 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ) → ((𝑃𝑘𝑘 ≤ (𝑘 + 1)) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))
4744, 40, 45, 46syl3anc 1170 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃𝑘𝑘 ≤ (𝑘 + 1)) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))
4841, 47mpan2d 419 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃𝑘𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))
4948imim2d 53 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃𝑘) → (𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1))))
5049com23 77 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ (!‘𝑘) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃𝑘) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1))))
51 dvdsle 10452 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝑘 + 1) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))
5243, 34, 51syl2anc 403 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ (𝑘 + 1) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))
5352a1dd 47 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ (𝑘 + 1) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃𝑘) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1))))
5450, 53jaod 670 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) ∨ 𝑃 ∥ (𝑘 + 1)) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃𝑘) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1))))
5538, 54sylbid 148 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃𝑘) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1))))
5655com23 77 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃𝑘) → (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1))))
5756ex 113 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃𝑘) → (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))))
5857a2d 26 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃𝑘)) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))))
595, 10, 15, 20, 25, 58nn0ind 8594 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑁) → 𝑃𝑁)))
60593imp 1133 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (!‘𝑁)) → 𝑃𝑁)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662  w3a 920   = wceq 1285  wcel 1434   class class class wbr 3805  cfv 4952  (class class class)co 5563  cr 7094  0cc0 7095  1c1 7096   + caddc 7098   · cmul 7100  cle 7268  cn 8158  0cn0 8407  cz 8484  !cfa 9801  cdvds 10403  cprime 10696
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-mulrcl 7189  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-precex 7200  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206  ax-pre-mulgt0 7207  ax-pre-mulext 7208  ax-arch 7209  ax-caucvg 7210
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-if 3369  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-iord 4149  df-on 4151  df-ilim 4152  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-recs 5974  df-frec 6060  df-1o 6085  df-2o 6086  df-er 6193  df-en 6309  df-sup 6491  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-reap 7794  df-ap 7801  df-div 7880  df-inn 8159  df-2 8217  df-3 8218  df-4 8219  df-n0 8408  df-z 8485  df-uz 8753  df-q 8838  df-rp 8868  df-fz 9158  df-fzo 9282  df-fl 9404  df-mod 9457  df-iseq 9574  df-iexp 9625  df-fac 9802  df-cj 9930  df-re 9931  df-im 9932  df-rsqrt 10085  df-abs 10086  df-dvds 10404  df-gcd 10546  df-prm 10697
This theorem is referenced by:  prmndvdsfaclt  10742
  Copyright terms: Public domain W3C validator