ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prmfac1 GIF version

Theorem prmfac1 11757
Description: The factorial of a number only contains primes less than the base. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
prmfac1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (!‘𝑁)) → 𝑃𝑁)

Proof of Theorem prmfac1
Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5389 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (!‘𝑥) = (!‘0))
21breq2d 3911 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝑃 ∥ (!‘0)))
3 breq2 3903 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (𝑃𝑥𝑃 ≤ 0))
42, 3imbi12d 233 . . . 4 (𝑥 = 0 → ((𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃𝑥) ↔ (𝑃 ∥ (!‘0) → 𝑃 ≤ 0)))
54imbi2d 229 . . 3 (𝑥 = 0 → ((𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃𝑥)) ↔ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘0) → 𝑃 ≤ 0))))
6 fveq2 5389 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (!‘𝑥) = (!‘𝑘))
76breq2d 3911 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝑃 ∥ (!‘𝑘)))
8 breq2 3903 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → (𝑃𝑥𝑃𝑘))
97, 8imbi12d 233 . . . 4 (𝑥 = 𝑘 → ((𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃𝑥) ↔ (𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃𝑘)))
109imbi2d 229 . . 3 (𝑥 = 𝑘 → ((𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃𝑥)) ↔ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃𝑘))))
11 fveq2 5389 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑥) = (!‘(𝑘 + 1)))
1211breq2d 3911 . . . . 5 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1))))
13 breq2 3903 . . . . 5 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝑃𝑥𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))
1412, 13imbi12d 233 . . . 4 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃𝑥) ↔ (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1))))
1514imbi2d 229 . . 3 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃𝑥)) ↔ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))))
16 fveq2 5389 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (!‘𝑥) = (!‘𝑁))
1716breq2d 3911 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) ↔ 𝑃 ∥ (!‘𝑁)))
18 breq2 3903 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (𝑃𝑥𝑃𝑁))
1917, 18imbi12d 233 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃𝑥) ↔ (𝑃 ∥ (!‘𝑁) → 𝑃𝑁)))
2019imbi2d 229 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑥) → 𝑃𝑥)) ↔ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑁) → 𝑃𝑁))))
21 fac0 10442 . . . . 5 (!‘0) = 1
2221breq2i 3907 . . . 4 (𝑃 ∥ (!‘0) ↔ 𝑃 ∥ 1)
23 nprmdvds1 11747 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → ¬ 𝑃 ∥ 1)
2423pm2.21d 593 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ 1 → 𝑃 ≤ 0))
2522, 24syl5bi 151 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘0) → 𝑃 ≤ 0))
26 facp1 10444 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
2726adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
2827breq2d 3911 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) ↔ 𝑃 ∥ ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1))))
29 simpr 109 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)
30 faccl 10449 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
3130adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
3231nnzd 9140 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → (!‘𝑘) ∈ ℤ)
33 nn0p1nn 8984 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
3433adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
3534nnzd 9140 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
36 euclemma 11751 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (!‘𝑘) ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) ↔ (𝑃 ∥ (!‘𝑘) ∨ 𝑃 ∥ (𝑘 + 1))))
3729, 32, 35, 36syl3anc 1201 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) ↔ (𝑃 ∥ (!‘𝑘) ∨ 𝑃 ∥ (𝑘 + 1))))
3828, 37bitrd 187 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑃 ∥ (!‘𝑘) ∨ 𝑃 ∥ (𝑘 + 1))))
39 nn0re 8954 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℝ)
4039adantr 274 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → 𝑘 ∈ ℝ)
4140lep1d 8657 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → 𝑘 ≤ (𝑘 + 1))
42 prmz 11719 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
4342adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℤ)
4443zred 9141 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℝ)
4534nnred 8701 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
46 letr 7815 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ) → ((𝑃𝑘𝑘 ≤ (𝑘 + 1)) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))
4744, 40, 45, 46syl3anc 1201 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃𝑘𝑘 ≤ (𝑘 + 1)) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))
4841, 47mpan2d 424 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃𝑘𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))
4948imim2d 54 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃𝑘) → (𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1))))
5049com23 78 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ (!‘𝑘) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃𝑘) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1))))
51 dvdsle 11469 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝑘 + 1) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))
5243, 34, 51syl2anc 408 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ (𝑘 + 1) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))
5352a1dd 48 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ (𝑘 + 1) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃𝑘) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1))))
5450, 53jaod 691 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) ∨ 𝑃 ∥ (𝑘 + 1)) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃𝑘) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1))))
5538, 54sylbid 149 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃𝑘) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1))))
5655com23 78 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃𝑘) → (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1))))
5756ex 114 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑃 ∈ ℙ → ((𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃𝑘) → (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))))
5857a2d 26 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑘) → 𝑃𝑘)) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘(𝑘 + 1)) → 𝑃 ≤ (𝑘 + 1)))))
595, 10, 15, 20, 25, 58nn0ind 9133 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∥ (!‘𝑁) → 𝑃𝑁)))
60593imp 1160 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (!‘𝑁)) → 𝑃𝑁)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wo 682  w3a 947   = wceq 1316  wcel 1465   class class class wbr 3899  cfv 5093  (class class class)co 5742  cr 7587  0cc0 7588  1c1 7589   + caddc 7591   · cmul 7593  cle 7769  cn 8688  0cn0 8945  cz 9022  !cfa 10439  cdvds 11420  cprime 11715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706  ax-arch 7707  ax-caucvg 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-frec 6256  df-1o 6281  df-2o 6282  df-er 6397  df-en 6603  df-sup 6839  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-2 8747  df-3 8748  df-4 8749  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-q 9380  df-rp 9410  df-fz 9759  df-fzo 9888  df-fl 10011  df-mod 10064  df-seqfrec 10187  df-exp 10261  df-fac 10440  df-cj 10582  df-re 10583  df-im 10584  df-rsqrt 10738  df-abs 10739  df-dvds 11421  df-gcd 11563  df-prm 11716
This theorem is referenced by:  prmndvdsfaclt  11761
  Copyright terms: Public domain W3C validator