Theorem prmuloc2 6548

Description: Positive reals are multiplicatively located. This is a variation of prmuloc 6547 which only constructs one (named) point and is therefore often easier to work with. It states that given a ratio B, there are elements of the lower and upper cut which have exactly that ratio between them. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prmuloc2	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 1Q <Q B) → ∃x ∈ 𝐿 (x ·Q B) ∈ 𝑈)

Distinct variable groups:   x,B   x,𝐿   x,𝑈

Proof of Theorem prmuloc2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmuloc 6547	. 2 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 1Q <Q B) → ∃x ∈ Q ∃y ∈ Q (x ∈ 𝐿 ∧ y ∈ 𝑈 ∧ (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B)))
2		nfv 1418	. . 3 ⊢ Ⅎx(⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 1Q <Q B)
3		nfre1 2359	. . 3 ⊢ Ⅎx∃x ∈ 𝐿 (x ·Q B) ∈ 𝑈
4		simpr1 909	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 1Q <Q B) ∧ (x ∈ Q ∧ y ∈ Q)) ∧ (x ∈ 𝐿 ∧ y ∈ 𝑈 ∧ (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B))) → x ∈ 𝐿)
5		simpr3 911	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 1Q <Q B) ∧ (x ∈ Q ∧ y ∈ Q)) ∧ (x ∈ 𝐿 ∧ y ∈ 𝑈 ∧ (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B))) → (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B))
6		simplrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 1Q <Q B) ∧ (x ∈ Q ∧ y ∈ Q)) ∧ (x ∈ 𝐿 ∧ y ∈ 𝑈 ∧ (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B))) → y ∈ Q)
7		mulidnq 6373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y ∈ Q → (y ·Q 1Q) = y)
8		breq1 3758	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((y ·Q 1Q) = y → ((y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B) ↔ y <Q (x ·Q B)))
9	6, 7, 8	3syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 1Q <Q B) ∧ (x ∈ Q ∧ y ∈ Q)) ∧ (x ∈ 𝐿 ∧ y ∈ 𝑈 ∧ (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B))) → ((y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B) ↔ y <Q (x ·Q B)))
10	5, 9	mpbid 135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 1Q <Q B) ∧ (x ∈ Q ∧ y ∈ Q)) ∧ (x ∈ 𝐿 ∧ y ∈ 𝑈 ∧ (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B))) → y <Q (x ·Q B))
11		simplll 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 1Q <Q B) ∧ (x ∈ Q ∧ y ∈ Q)) ∧ (x ∈ 𝐿 ∧ y ∈ 𝑈 ∧ (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B))) → ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)
12		simpr2 910	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 1Q <Q B) ∧ (x ∈ Q ∧ y ∈ Q)) ∧ (x ∈ 𝐿 ∧ y ∈ 𝑈 ∧ (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B))) → y ∈ 𝑈)
13		prcunqu 6468	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ y ∈ 𝑈) → (y <Q (x ·Q B) → (x ·Q B) ∈ 𝑈))
14	11, 12, 13	syl2anc 391	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 1Q <Q B) ∧ (x ∈ Q ∧ y ∈ Q)) ∧ (x ∈ 𝐿 ∧ y ∈ 𝑈 ∧ (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B))) → (y <Q (x ·Q B) → (x ·Q B) ∈ 𝑈))
15	10, 14	mpd 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 1Q <Q B) ∧ (x ∈ Q ∧ y ∈ Q)) ∧ (x ∈ 𝐿 ∧ y ∈ 𝑈 ∧ (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B))) → (x ·Q B) ∈ 𝑈)
16		rspe 2364	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ∈ 𝐿 ∧ (x ·Q B) ∈ 𝑈) → ∃x ∈ 𝐿 (x ·Q B) ∈ 𝑈)
17	4, 15, 16	syl2anc 391	. . . . . . 7 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 1Q <Q B) ∧ (x ∈ Q ∧ y ∈ Q)) ∧ (x ∈ 𝐿 ∧ y ∈ 𝑈 ∧ (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B))) → ∃x ∈ 𝐿 (x ·Q B) ∈ 𝑈)
18	17	ex 108	. . . . . 6 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 1Q <Q B) ∧ (x ∈ Q ∧ y ∈ Q)) → ((x ∈ 𝐿 ∧ y ∈ 𝑈 ∧ (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B)) → ∃x ∈ 𝐿 (x ·Q B) ∈ 𝑈))
19	18	anassrs 380	. . . . 5 ⊢ ((((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 1Q <Q B) ∧ x ∈ Q) ∧ y ∈ Q) → ((x ∈ 𝐿 ∧ y ∈ 𝑈 ∧ (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B)) → ∃x ∈ 𝐿 (x ·Q B) ∈ 𝑈))
20	19	rexlimdva 2427	. . . 4 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 1Q <Q B) ∧ x ∈ Q) → (∃y ∈ Q (x ∈ 𝐿 ∧ y ∈ 𝑈 ∧ (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B)) → ∃x ∈ 𝐿 (x ·Q B) ∈ 𝑈))
21	20	ex 108	. . 3 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 1Q <Q B) → (x ∈ Q → (∃y ∈ Q (x ∈ 𝐿 ∧ y ∈ 𝑈 ∧ (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B)) → ∃x ∈ 𝐿 (x ·Q B) ∈ 𝑈)))
22	2, 3, 21	rexlimd 2424	. 2 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 1Q <Q B) → (∃x ∈ Q ∃y ∈ Q (x ∈ 𝐿 ∧ y ∈ 𝑈 ∧ (y ·Q 1Q) <Q (x ·Q B)) → ∃x ∈ 𝐿 (x ·Q B) ∈ 𝑈))
23	1, 22	mpd 13	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 1Q <Q B) → ∃x ∈ 𝐿 (x ·Q B) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ∃wrex 2301  ⟨cop 3370   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  Qcnq 6264  1_Qc1q 6265   ·_Q cmq 6267   <_Q cltq 6269  Pcnp 6275

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449

This theorem is referenced by:  recexprlem1ssl  6605  recexprlem1ssu  6606