Theorem prmuloclemcalc 7366

Description: Calculations for prmuloc 7367. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmuloclemcalc.ru	⊢ (𝜑 → 𝑅 <Q 𝑈)
prmuloclemcalc.udp	⊢ (𝜑 → 𝑈 <Q (𝐷 +Q 𝑃))
prmuloclemcalc.axb	⊢ (𝜑 → (𝐴 +Q 𝑋) = 𝐵)
prmuloclemcalc.pbrx	⊢ (𝜑 → (𝑃 ·Q 𝐵) <Q (𝑅 ·Q 𝑋))
prmuloclemcalc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Q)
prmuloclemcalc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Q)
prmuloclemcalc.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Q)
prmuloclemcalc.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Q)
prmuloclemcalc.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Q)

Assertion

Ref	Expression
prmuloclemcalc	⊢ (𝜑 → (𝑈 ·Q 𝐴) <Q (𝐷 ·Q 𝐵))

Proof of Theorem prmuloclemcalc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmuloclemcalc.axb	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +Q 𝑋) = 𝐵)
2	1	oveq2d 5783	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ·Q (𝐴 +Q 𝑋)) = (𝑈 ·Q 𝐵))
3		prmuloclemcalc.ru	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 <Q 𝑈)
4		ltrelnq 7166	. . . . . . . . . 10 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
5	4	brel 4586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 <Q 𝑈 → (𝑅 ∈ Q ∧ 𝑈 ∈ Q))
6	3, 5	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ Q ∧ 𝑈 ∈ Q))
7	6	simprd 113	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Q)
8		prmuloclemcalc.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Q)
9		prmuloclemcalc.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Q)
10		distrnqg 7188	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ Q ∧ 𝐴 ∈ Q ∧ 𝑋 ∈ Q) → (𝑈 ·Q (𝐴 +Q 𝑋)) = ((𝑈 ·Q 𝐴) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)))
11	7, 8, 9, 10	syl3anc 1216	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ·Q (𝐴 +Q 𝑋)) = ((𝑈 ·Q 𝐴) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)))
12	2, 11	eqtr3d 2172	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ·Q 𝐵) = ((𝑈 ·Q 𝐴) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)))
13		prmuloclemcalc.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Q)
14		mulcomnqg 7184	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ 𝑈 ∈ Q) → (𝐵 ·Q 𝑈) = (𝑈 ·Q 𝐵))
15	13, 7, 14	syl2anc 408	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·Q 𝑈) = (𝑈 ·Q 𝐵))
16		prmuloclemcalc.udp	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 <Q (𝐷 +Q 𝑃))
17		ltmnqi 7204	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 <Q (𝐷 +Q 𝑃) ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐵 ·Q 𝑈) <Q (𝐵 ·Q (𝐷 +Q 𝑃)))
18	16, 13, 17	syl2anc 408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·Q 𝑈) <Q (𝐵 ·Q (𝐷 +Q 𝑃)))
19		prmuloclemcalc.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Q)
20		prmuloclemcalc.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Q)
21		distrnqg 7188	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q ∧ 𝑃 ∈ Q) → (𝐵 ·Q (𝐷 +Q 𝑃)) = ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝐵 ·Q 𝑃)))
22	13, 19, 20, 21	syl3anc 1216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·Q (𝐷 +Q 𝑃)) = ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝐵 ·Q 𝑃)))
23	18, 22	breqtrd 3949	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·Q 𝑈) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝐵 ·Q 𝑃)))
24		mulcomnqg 7184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝑃 ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 𝑃))
25	20, 13, 24	syl2anc 408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 𝑃))
26		prmuloclemcalc.pbrx	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ·Q 𝐵) <Q (𝑅 ·Q 𝑋))
27	25, 26	eqbrtrrd 3947	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·Q 𝑃) <Q (𝑅 ·Q 𝑋))
28		mulclnq 7177	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q) → (𝐵 ·Q 𝐷) ∈ Q)
29	13, 19, 28	syl2anc 408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·Q 𝐷) ∈ Q)
30		ltanqi 7203	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ·Q 𝑃) <Q (𝑅 ·Q 𝑋) ∧ (𝐵 ·Q 𝐷) ∈ Q) → ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝐵 ·Q 𝑃)) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑅 ·Q 𝑋)))
31	27, 29, 30	syl2anc 408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝐵 ·Q 𝑃)) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑅 ·Q 𝑋)))
32		ltsonq 7199	. . . . . . . . 9 ⊢ <Q Or Q
33	32, 4	sotri 4929	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ·Q 𝑈) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝐵 ·Q 𝑃)) ∧ ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝐵 ·Q 𝑃)) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑅 ·Q 𝑋))) → (𝐵 ·Q 𝑈) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑅 ·Q 𝑋)))
34	23, 31, 33	syl2anc 408	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·Q 𝑈) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑅 ·Q 𝑋)))
35		ltmnqi 7204	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 <Q 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ Q) → (𝑋 ·Q 𝑅) <Q (𝑋 ·Q 𝑈))
36	3, 9, 35	syl2anc 408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ·Q 𝑅) <Q (𝑋 ·Q 𝑈))
37	6	simpld 111	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Q)
38		mulcomnqg 7184	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ Q ∧ 𝑅 ∈ Q) → (𝑋 ·Q 𝑅) = (𝑅 ·Q 𝑋))
39	9, 37, 38	syl2anc 408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ·Q 𝑅) = (𝑅 ·Q 𝑋))
40		mulcomnqg 7184	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ Q ∧ 𝑈 ∈ Q) → (𝑋 ·Q 𝑈) = (𝑈 ·Q 𝑋))
41	9, 7, 40	syl2anc 408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ·Q 𝑈) = (𝑈 ·Q 𝑋))
42	36, 39, 41	3brtr3d 3954	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ·Q 𝑋) <Q (𝑈 ·Q 𝑋))
43		ltanqi 7203	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ·Q 𝑋) <Q (𝑈 ·Q 𝑋) ∧ (𝐵 ·Q 𝐷) ∈ Q) → ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑅 ·Q 𝑋)) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)))
44	42, 29, 43	syl2anc 408	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑅 ·Q 𝑋)) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)))
45	32, 4	sotri 4929	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ·Q 𝑈) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑅 ·Q 𝑋)) ∧ ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑅 ·Q 𝑋)) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑈 ·Q 𝑋))) → (𝐵 ·Q 𝑈) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)))
46	34, 44, 45	syl2anc 408	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·Q 𝑈) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)))
47	15, 46	eqbrtrrd 3947	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ·Q 𝐵) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)))
48	12, 47	eqbrtrrd 3947	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ·Q 𝐴) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)))
49		mulclnq 7177	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ Q ∧ 𝐴 ∈ Q) → (𝑈 ·Q 𝐴) ∈ Q)
50	7, 8, 49	syl2anc 408	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ·Q 𝐴) ∈ Q)
51		mulclnq 7177	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ Q ∧ 𝑋 ∈ Q) → (𝑈 ·Q 𝑋) ∈ Q)
52	7, 9, 51	syl2anc 408	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ·Q 𝑋) ∈ Q)
53		addcomnqg 7182	. . . . 5 ⊢ (((𝑈 ·Q 𝐴) ∈ Q ∧ (𝑈 ·Q 𝑋) ∈ Q) → ((𝑈 ·Q 𝐴) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)) = ((𝑈 ·Q 𝑋) +Q (𝑈 ·Q 𝐴)))
54	50, 52, 53	syl2anc 408	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ·Q 𝐴) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)) = ((𝑈 ·Q 𝑋) +Q (𝑈 ·Q 𝐴)))
55		addcomnqg 7182	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ·Q 𝐷) ∈ Q ∧ (𝑈 ·Q 𝑋) ∈ Q) → ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)) = ((𝑈 ·Q 𝑋) +Q (𝐵 ·Q 𝐷)))
56	29, 52, 55	syl2anc 408	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)) = ((𝑈 ·Q 𝑋) +Q (𝐵 ·Q 𝐷)))
57	48, 54, 56	3brtr3d 3954	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ·Q 𝑋) +Q (𝑈 ·Q 𝐴)) <Q ((𝑈 ·Q 𝑋) +Q (𝐵 ·Q 𝐷)))
58		ltanqg 7201	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ·Q 𝐴) ∈ Q ∧ (𝐵 ·Q 𝐷) ∈ Q ∧ (𝑈 ·Q 𝑋) ∈ Q) → ((𝑈 ·Q 𝐴) <Q (𝐵 ·Q 𝐷) ↔ ((𝑈 ·Q 𝑋) +Q (𝑈 ·Q 𝐴)) <Q ((𝑈 ·Q 𝑋) +Q (𝐵 ·Q 𝐷))))
59	50, 29, 52, 58	syl3anc 1216	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ·Q 𝐴) <Q (𝐵 ·Q 𝐷) ↔ ((𝑈 ·Q 𝑋) +Q (𝑈 ·Q 𝐴)) <Q ((𝑈 ·Q 𝑋) +Q (𝐵 ·Q 𝐷))))
60	57, 59	mpbird 166	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ·Q 𝐴) <Q (𝐵 ·Q 𝐷))
61		mulcomnqg 7184	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q) → (𝐵 ·Q 𝐷) = (𝐷 ·Q 𝐵))
62	13, 19, 61	syl2anc 408	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·Q 𝐷) = (𝐷 ·Q 𝐵))
63	60, 62	breqtrd 3949	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ·Q 𝐴) <Q (𝐷 ·Q 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767  Qcnq 7081   +_Q cplq 7083   ·_Q cmq 7084   <_Q cltq 7086

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-eprel 4206  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-oadd 6310  df-omul 6311  df-er 6422  df-ec 6424  df-qs 6428  df-ni 7105  df-pli 7106  df-mi 7107  df-lti 7108  df-plpq 7145  df-mpq 7146  df-enq 7148  df-nqqs 7149  df-plqqs 7150  df-mqqs 7151  df-ltnqqs 7154

This theorem is referenced by:  prmuloc  7367