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Theorem prmuloclemcalc 6691
Description: Calculations for prmuloc 6692. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
prmuloclemcalc.ru (𝜑𝑅 <Q 𝑈)
prmuloclemcalc.udp (𝜑𝑈 <Q (𝐷 +Q 𝑃))
prmuloclemcalc.axb (𝜑 → (𝐴 +Q 𝑋) = 𝐵)
prmuloclemcalc.pbrx (𝜑 → (𝑃 ·Q 𝐵) <Q (𝑅 ·Q 𝑋))
prmuloclemcalc.a (𝜑𝐴Q)
prmuloclemcalc.b (𝜑𝐵Q)
prmuloclemcalc.d (𝜑𝐷Q)
prmuloclemcalc.p (𝜑𝑃Q)
prmuloclemcalc.x (𝜑𝑋Q)
Assertion
Ref Expression
prmuloclemcalc (𝜑 → (𝑈 ·Q 𝐴) <Q (𝐷 ·Q 𝐵))

Proof of Theorem prmuloclemcalc
StepHypRef Expression
1 prmuloclemcalc.axb . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 +Q 𝑋) = 𝐵)
21oveq2d 5553 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 ·Q (𝐴 +Q 𝑋)) = (𝑈 ·Q 𝐵))
3 prmuloclemcalc.ru . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 <Q 𝑈)
4 ltrelnq 6491 . . . . . . . . . 10 <Q ⊆ (Q × Q)
54brel 4417 . . . . . . . . 9 (𝑅 <Q 𝑈 → (𝑅Q𝑈Q))
63, 5syl 14 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑅Q𝑈Q))
76simprd 111 . . . . . . 7 (𝜑𝑈Q)
8 prmuloclemcalc.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴Q)
9 prmuloclemcalc.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋Q)
10 distrnqg 6513 . . . . . . 7 ((𝑈Q𝐴Q𝑋Q) → (𝑈 ·Q (𝐴 +Q 𝑋)) = ((𝑈 ·Q 𝐴) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)))
117, 8, 9, 10syl3anc 1144 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 ·Q (𝐴 +Q 𝑋)) = ((𝑈 ·Q 𝐴) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)))
122, 11eqtr3d 2088 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 ·Q 𝐵) = ((𝑈 ·Q 𝐴) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)))
13 prmuloclemcalc.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵Q)
14 mulcomnqg 6509 . . . . . . 7 ((𝐵Q𝑈Q) → (𝐵 ·Q 𝑈) = (𝑈 ·Q 𝐵))
1513, 7, 14syl2anc 397 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ·Q 𝑈) = (𝑈 ·Q 𝐵))
16 prmuloclemcalc.udp . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 <Q (𝐷 +Q 𝑃))
17 ltmnqi 6529 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 <Q (𝐷 +Q 𝑃) ∧ 𝐵Q) → (𝐵 ·Q 𝑈) <Q (𝐵 ·Q (𝐷 +Q 𝑃)))
1816, 13, 17syl2anc 397 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 ·Q 𝑈) <Q (𝐵 ·Q (𝐷 +Q 𝑃)))
19 prmuloclemcalc.d . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷Q)
20 prmuloclemcalc.p . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃Q)
21 distrnqg 6513 . . . . . . . . . 10 ((𝐵Q𝐷Q𝑃Q) → (𝐵 ·Q (𝐷 +Q 𝑃)) = ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝐵 ·Q 𝑃)))
2213, 19, 20, 21syl3anc 1144 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 ·Q (𝐷 +Q 𝑃)) = ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝐵 ·Q 𝑃)))
2318, 22breqtrd 3813 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 ·Q 𝑈) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝐵 ·Q 𝑃)))
24 mulcomnqg 6509 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃Q𝐵Q) → (𝑃 ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 𝑃))
2520, 13, 24syl2anc 397 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 𝑃))
26 prmuloclemcalc.pbrx . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 ·Q 𝐵) <Q (𝑅 ·Q 𝑋))
2725, 26eqbrtrrd 3811 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 ·Q 𝑃) <Q (𝑅 ·Q 𝑋))
28 mulclnq 6502 . . . . . . . . . 10 ((𝐵Q𝐷Q) → (𝐵 ·Q 𝐷) ∈ Q)
2913, 19, 28syl2anc 397 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 ·Q 𝐷) ∈ Q)
30 ltanqi 6528 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ·Q 𝑃) <Q (𝑅 ·Q 𝑋) ∧ (𝐵 ·Q 𝐷) ∈ Q) → ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝐵 ·Q 𝑃)) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑅 ·Q 𝑋)))
3127, 29, 30syl2anc 397 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝐵 ·Q 𝑃)) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑅 ·Q 𝑋)))
32 ltsonq 6524 . . . . . . . . 9 <Q Or Q
3332, 4sotri 4745 . . . . . . . 8 (((𝐵 ·Q 𝑈) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝐵 ·Q 𝑃)) ∧ ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝐵 ·Q 𝑃)) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑅 ·Q 𝑋))) → (𝐵 ·Q 𝑈) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑅 ·Q 𝑋)))
3423, 31, 33syl2anc 397 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 ·Q 𝑈) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑅 ·Q 𝑋)))
35 ltmnqi 6529 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 <Q 𝑈𝑋Q) → (𝑋 ·Q 𝑅) <Q (𝑋 ·Q 𝑈))
363, 9, 35syl2anc 397 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 ·Q 𝑅) <Q (𝑋 ·Q 𝑈))
376simpld 109 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅Q)
38 mulcomnqg 6509 . . . . . . . . . 10 ((𝑋Q𝑅Q) → (𝑋 ·Q 𝑅) = (𝑅 ·Q 𝑋))
399, 37, 38syl2anc 397 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 ·Q 𝑅) = (𝑅 ·Q 𝑋))
40 mulcomnqg 6509 . . . . . . . . . 10 ((𝑋Q𝑈Q) → (𝑋 ·Q 𝑈) = (𝑈 ·Q 𝑋))
419, 7, 40syl2anc 397 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 ·Q 𝑈) = (𝑈 ·Q 𝑋))
4236, 39, 413brtr3d 3818 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑅 ·Q 𝑋) <Q (𝑈 ·Q 𝑋))
43 ltanqi 6528 . . . . . . . 8 (((𝑅 ·Q 𝑋) <Q (𝑈 ·Q 𝑋) ∧ (𝐵 ·Q 𝐷) ∈ Q) → ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑅 ·Q 𝑋)) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)))
4442, 29, 43syl2anc 397 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑅 ·Q 𝑋)) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)))
4532, 4sotri 4745 . . . . . . 7 (((𝐵 ·Q 𝑈) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑅 ·Q 𝑋)) ∧ ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑅 ·Q 𝑋)) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑈 ·Q 𝑋))) → (𝐵 ·Q 𝑈) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)))
4634, 44, 45syl2anc 397 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ·Q 𝑈) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)))
4715, 46eqbrtrrd 3811 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 ·Q 𝐵) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)))
4812, 47eqbrtrrd 3811 . . . 4 (𝜑 → ((𝑈 ·Q 𝐴) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)))
49 mulclnq 6502 . . . . . 6 ((𝑈Q𝐴Q) → (𝑈 ·Q 𝐴) ∈ Q)
507, 8, 49syl2anc 397 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 ·Q 𝐴) ∈ Q)
51 mulclnq 6502 . . . . . 6 ((𝑈Q𝑋Q) → (𝑈 ·Q 𝑋) ∈ Q)
527, 9, 51syl2anc 397 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 ·Q 𝑋) ∈ Q)
53 addcomnqg 6507 . . . . 5 (((𝑈 ·Q 𝐴) ∈ Q ∧ (𝑈 ·Q 𝑋) ∈ Q) → ((𝑈 ·Q 𝐴) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)) = ((𝑈 ·Q 𝑋) +Q (𝑈 ·Q 𝐴)))
5450, 52, 53syl2anc 397 . . . 4 (𝜑 → ((𝑈 ·Q 𝐴) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)) = ((𝑈 ·Q 𝑋) +Q (𝑈 ·Q 𝐴)))
55 addcomnqg 6507 . . . . 5 (((𝐵 ·Q 𝐷) ∈ Q ∧ (𝑈 ·Q 𝑋) ∈ Q) → ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)) = ((𝑈 ·Q 𝑋) +Q (𝐵 ·Q 𝐷)))
5629, 52, 55syl2anc 397 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)) = ((𝑈 ·Q 𝑋) +Q (𝐵 ·Q 𝐷)))
5748, 54, 563brtr3d 3818 . . 3 (𝜑 → ((𝑈 ·Q 𝑋) +Q (𝑈 ·Q 𝐴)) <Q ((𝑈 ·Q 𝑋) +Q (𝐵 ·Q 𝐷)))
58 ltanqg 6526 . . . 4 (((𝑈 ·Q 𝐴) ∈ Q ∧ (𝐵 ·Q 𝐷) ∈ Q ∧ (𝑈 ·Q 𝑋) ∈ Q) → ((𝑈 ·Q 𝐴) <Q (𝐵 ·Q 𝐷) ↔ ((𝑈 ·Q 𝑋) +Q (𝑈 ·Q 𝐴)) <Q ((𝑈 ·Q 𝑋) +Q (𝐵 ·Q 𝐷))))
5950, 29, 52, 58syl3anc 1144 . . 3 (𝜑 → ((𝑈 ·Q 𝐴) <Q (𝐵 ·Q 𝐷) ↔ ((𝑈 ·Q 𝑋) +Q (𝑈 ·Q 𝐴)) <Q ((𝑈 ·Q 𝑋) +Q (𝐵 ·Q 𝐷))))
6057, 59mpbird 160 . 2 (𝜑 → (𝑈 ·Q 𝐴) <Q (𝐵 ·Q 𝐷))
61 mulcomnqg 6509 . . 3 ((𝐵Q𝐷Q) → (𝐵 ·Q 𝐷) = (𝐷 ·Q 𝐵))
6213, 19, 61syl2anc 397 . 2 (𝜑 → (𝐵 ·Q 𝐷) = (𝐷 ·Q 𝐵))
6360, 62breqtrd 3813 1 (𝜑 → (𝑈 ·Q 𝐴) <Q (𝐷 ·Q 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102   = wceq 1257  wcel 1407   class class class wbr 3789  (class class class)co 5537  Qcnq 6406   +Q cplq 6408   ·Q cmq 6409   <Q cltq 6411
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 552  ax-in2 553  ax-io 638  ax-5 1350  ax-7 1351  ax-gen 1352  ax-ie1 1396  ax-ie2 1397  ax-8 1409  ax-10 1410  ax-11 1411  ax-i12 1412  ax-bndl 1413  ax-4 1414  ax-13 1418  ax-14 1419  ax-17 1433  ax-i9 1437  ax-ial 1441  ax-i5r 1442  ax-ext 2036  ax-coll 3897  ax-sep 3900  ax-nul 3908  ax-pow 3952  ax-pr 3969  ax-un 4195  ax-setind 4287  ax-iinf 4336
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 752  df-3or 895  df-3an 896  df-tru 1260  df-fal 1263  df-nf 1364  df-sb 1660  df-eu 1917  df-mo 1918  df-clab 2041  df-cleq 2047  df-clel 2050  df-nfc 2181  df-ne 2219  df-ral 2326  df-rex 2327  df-reu 2328  df-rab 2330  df-v 2574  df-sbc 2785  df-csb 2878  df-dif 2945  df-un 2947  df-in 2949  df-ss 2956  df-nul 3250  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3606  df-int 3641  df-iun 3684  df-br 3790  df-opab 3844  df-mpt 3845  df-tr 3880  df-eprel 4051  df-id 4055  df-po 4058  df-iso 4059  df-iord 4128  df-on 4130  df-suc 4133  df-iom 4339  df-xp 4376  df-rel 4377  df-cnv 4378  df-co 4379  df-dm 4380  df-rn 4381  df-res 4382  df-ima 4383  df-iota 4892  df-fun 4929  df-fn 4930  df-f 4931  df-f1 4932  df-fo 4933  df-f1o 4934  df-fv 4935  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-recs 5948  df-irdg 5985  df-oadd 6033  df-omul 6034  df-er 6134  df-ec 6136  df-qs 6140  df-ni 6430  df-pli 6431  df-mi 6432  df-lti 6433  df-plpq 6470  df-mpq 6471  df-enq 6473  df-nqqs 6474  df-plqqs 6475  df-mqqs 6476  df-ltnqqs 6479
This theorem is referenced by:  prmuloc  6692
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