ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prnminu GIF version

Theorem prnminu 6644
Description: An upper cut has no smallest member. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prnminu ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝑈) → ∃𝑥𝑈 𝑥 <Q 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐿   𝑥,𝑈

Proof of Theorem prnminu
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elprnqu 6637 . . . . 5 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝑈) → 𝐵Q)
2 elinp 6629 . . . . . . . 8 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑥Q 𝑥𝐿 ∧ ∃𝑦Q 𝑦𝑈)) ∧ ((∀𝑥Q (𝑥𝐿 ↔ ∃𝑦Q (𝑥 <Q 𝑦𝑦𝐿)) ∧ ∀𝑦Q (𝑦𝑈 ↔ ∃𝑥Q (𝑥 <Q 𝑦𝑥𝑈))) ∧ ∀𝑥Q ¬ (𝑥𝐿𝑥𝑈) ∧ ∀𝑥Q𝑦Q (𝑥 <Q 𝑦 → (𝑥𝐿𝑦𝑈)))))
3 simpr1r 973 . . . . . . . 8 ((((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑥Q 𝑥𝐿 ∧ ∃𝑦Q 𝑦𝑈)) ∧ ((∀𝑥Q (𝑥𝐿 ↔ ∃𝑦Q (𝑥 <Q 𝑦𝑦𝐿)) ∧ ∀𝑦Q (𝑦𝑈 ↔ ∃𝑥Q (𝑥 <Q 𝑦𝑥𝑈))) ∧ ∀𝑥Q ¬ (𝑥𝐿𝑥𝑈) ∧ ∀𝑥Q𝑦Q (𝑥 <Q 𝑦 → (𝑥𝐿𝑦𝑈)))) → ∀𝑦Q (𝑦𝑈 ↔ ∃𝑥Q (𝑥 <Q 𝑦𝑥𝑈)))
42, 3sylbi 118 . . . . . . 7 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∀𝑦Q (𝑦𝑈 ↔ ∃𝑥Q (𝑥 <Q 𝑦𝑥𝑈)))
5 eleq1 2116 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐵 → (𝑦𝑈𝐵𝑈))
6 breq2 3795 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐵 → (𝑥 <Q 𝑦𝑥 <Q 𝐵))
76anbi1d 446 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐵 → ((𝑥 <Q 𝑦𝑥𝑈) ↔ (𝑥 <Q 𝐵𝑥𝑈)))
87rexbidv 2344 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐵 → (∃𝑥Q (𝑥 <Q 𝑦𝑥𝑈) ↔ ∃𝑥Q (𝑥 <Q 𝐵𝑥𝑈)))
95, 8bibi12d 228 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐵 → ((𝑦𝑈 ↔ ∃𝑥Q (𝑥 <Q 𝑦𝑥𝑈)) ↔ (𝐵𝑈 ↔ ∃𝑥Q (𝑥 <Q 𝐵𝑥𝑈))))
109rspcv 2669 . . . . . . 7 (𝐵Q → (∀𝑦Q (𝑦𝑈 ↔ ∃𝑥Q (𝑥 <Q 𝑦𝑥𝑈)) → (𝐵𝑈 ↔ ∃𝑥Q (𝑥 <Q 𝐵𝑥𝑈))))
11 bi1 115 . . . . . . 7 ((𝐵𝑈 ↔ ∃𝑥Q (𝑥 <Q 𝐵𝑥𝑈)) → (𝐵𝑈 → ∃𝑥Q (𝑥 <Q 𝐵𝑥𝑈)))
124, 10, 11syl56 34 . . . . . 6 (𝐵Q → (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → (𝐵𝑈 → ∃𝑥Q (𝑥 <Q 𝐵𝑥𝑈))))
1312impd 246 . . . . 5 (𝐵Q → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝑈) → ∃𝑥Q (𝑥 <Q 𝐵𝑥𝑈)))
141, 13mpcom 36 . . . 4 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝑈) → ∃𝑥Q (𝑥 <Q 𝐵𝑥𝑈))
15 df-rex 2329 . . . 4 (∃𝑥Q (𝑥 <Q 𝐵𝑥𝑈) ↔ ∃𝑥(𝑥Q ∧ (𝑥 <Q 𝐵𝑥𝑈)))
1614, 15sylib 131 . . 3 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝑈) → ∃𝑥(𝑥Q ∧ (𝑥 <Q 𝐵𝑥𝑈)))
17 ltrelnq 6520 . . . . . . . . 9 <Q ⊆ (Q × Q)
1817brel 4419 . . . . . . . 8 (𝑥 <Q 𝐵 → (𝑥Q𝐵Q))
1918simpld 109 . . . . . . 7 (𝑥 <Q 𝐵𝑥Q)
2019pm4.71ri 378 . . . . . 6 (𝑥 <Q 𝐵 ↔ (𝑥Q𝑥 <Q 𝐵))
2120anbi1i 439 . . . . 5 ((𝑥 <Q 𝐵𝑥𝑈) ↔ ((𝑥Q𝑥 <Q 𝐵) ∧ 𝑥𝑈))
22 ancom 257 . . . . 5 ((𝑥 <Q 𝐵𝑥𝑈) ↔ (𝑥𝑈𝑥 <Q 𝐵))
23 anass 387 . . . . 5 (((𝑥Q𝑥 <Q 𝐵) ∧ 𝑥𝑈) ↔ (𝑥Q ∧ (𝑥 <Q 𝐵𝑥𝑈)))
2421, 22, 233bitr3i 203 . . . 4 ((𝑥𝑈𝑥 <Q 𝐵) ↔ (𝑥Q ∧ (𝑥 <Q 𝐵𝑥𝑈)))
2524exbii 1512 . . 3 (∃𝑥(𝑥𝑈𝑥 <Q 𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥Q ∧ (𝑥 <Q 𝐵𝑥𝑈)))
2616, 25sylibr 141 . 2 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝑈) → ∃𝑥(𝑥𝑈𝑥 <Q 𝐵))
27 df-rex 2329 . 2 (∃𝑥𝑈 𝑥 <Q 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝑥𝑈𝑥 <Q 𝐵))
2826, 27sylibr 141 1 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝑈) → ∃𝑥𝑈 𝑥 <Q 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 101  wb 102  wo 639  w3a 896   = wceq 1259  wex 1397  wcel 1409  wral 2323  wrex 2324  wss 2944  cop 3405   class class class wbr 3791  Qcnq 6435   <Q cltq 6440  Pcnp 6446
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-iinf 4338
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-id 4057  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-qs 6142  df-ni 6459  df-nqqs 6503  df-ltnqqs 6508  df-inp 6621
This theorem is referenced by:  genprndu  6677  nqpru  6707  1idpru  6746  ltsopr  6751  ltexprlemopu  6758  ltexprlemru  6767  addcanprlemu  6770  recexprlemloc  6786  recexprlem1ssu  6789  aptiprlemu  6795
  Copyright terms: Public domain W3C validator