ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prop GIF version

Theorem prop 6779
Description: A positive real is an ordered pair of a lower cut and an upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
prop (𝐴P → ⟨(1st𝐴), (2nd𝐴)⟩ ∈ P)

Proof of Theorem prop
StepHypRef Expression
1 npsspw 6775 . . . 4 P ⊆ (𝒫 Q × 𝒫 Q)
21sseli 3004 . . 3 (𝐴P𝐴 ∈ (𝒫 Q × 𝒫 Q))
3 1st2nd2 5852 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 Q × 𝒫 Q) → 𝐴 = ⟨(1st𝐴), (2nd𝐴)⟩)
42, 3syl 14 . 2 (𝐴P𝐴 = ⟨(1st𝐴), (2nd𝐴)⟩)
5 eleq1 2145 . . 3 (𝐴 = ⟨(1st𝐴), (2nd𝐴)⟩ → (𝐴P ↔ ⟨(1st𝐴), (2nd𝐴)⟩ ∈ P))
65biimpcd 157 . 2 (𝐴P → (𝐴 = ⟨(1st𝐴), (2nd𝐴)⟩ → ⟨(1st𝐴), (2nd𝐴)⟩ ∈ P))
74, 6mpd 13 1 (𝐴P → ⟨(1st𝐴), (2nd𝐴)⟩ ∈ P)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1285  wcel 1434  𝒫 cpw 3400  cop 3419   × cxp 4389  cfv 4952  1st c1st 5816  2nd c2nd 5817  Qcnq 6584  Pcnp 6595
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2612  df-sbc 2825  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-id 4076  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fv 4960  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-inp 6770
This theorem is referenced by:  elnp1st2nd  6780  0npr  6787  genpdf  6812  genipv  6813  genpelvl  6816  genpelvu  6817  genpml  6821  genpmu  6822  genprndl  6825  genprndu  6826  genpdisj  6827  genpassl  6828  genpassu  6829  addnqprl  6833  addnqpru  6834  addlocprlemeqgt  6836  addlocprlemgt  6838  addlocprlem  6839  addlocpr  6840  nqprl  6855  nqpru  6856  addnqprlemfl  6863  addnqprlemfu  6864  mulnqprl  6872  mulnqpru  6873  mullocprlem  6874  mullocpr  6875  mulnqprlemfl  6879  mulnqprlemfu  6880  addcomprg  6882  mulcomprg  6884  distrlem1prl  6886  distrlem1pru  6887  distrlem4prl  6888  distrlem4pru  6889  ltprordil  6893  1idprl  6894  1idpru  6895  ltpopr  6899  ltsopr  6900  ltaddpr  6901  ltexprlemm  6904  ltexprlemopl  6905  ltexprlemlol  6906  ltexprlemopu  6907  ltexprlemupu  6908  ltexprlemdisj  6910  ltexprlemloc  6911  ltexprlemfl  6913  ltexprlemrl  6914  ltexprlemfu  6915  ltexprlemru  6916  addcanprleml  6918  addcanprlemu  6919  prplnqu  6924  recexprlemm  6928  recexprlemdisj  6934  recexprlemloc  6935  recexprlem1ssl  6937  recexprlem1ssu  6938  recexprlemss1l  6939  recexprlemss1u  6940  aptiprleml  6943  aptiprlemu  6944  archpr  6947  cauappcvgprlemladdru  6960  cauappcvgprlemladdrl  6961  archrecpr  6968  caucvgprlemladdrl  6982  caucvgprprlemml  6998  caucvgprprlemmu  6999  caucvgprprlemopl  7001
  Copyright terms: Public domain W3C validator