Theorem prsrlt 7595

Description: Mapping from positive real ordering to signed real ordering. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
prsrlt	⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴<P 𝐵 ↔ [⟨(𝐴 +P 1P), 1P⟩] ~R <R [⟨(𝐵 +P 1P), 1P⟩] ~R ))

Proof of Theorem prsrlt

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pr 7362	. . . . 5 ⊢ 1P ∈ P
2	1	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → 1P ∈ P)
3		simpr 109	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → 𝐵 ∈ P)
4		addassprg 7387	. . . 4 ⊢ ((1P ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 1P ∈ P) → ((1P +P 𝐵) +P 1P) = (1P +P (𝐵 +P 1P)))
5	2, 3, 2, 4	syl3anc 1216	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ((1P +P 𝐵) +P 1P) = (1P +P (𝐵 +P 1P)))
6	5	breq2d 3941	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (((𝐴 +P 1P) +P 1P)<P ((1P +P 𝐵) +P 1P) ↔ ((𝐴 +P 1P) +P 1P)<P (1P +P (𝐵 +P 1P))))
7		simpl 108	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → 𝐴 ∈ P)
8		ltaprg 7427	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (𝐴<P 𝐵 ↔ (1P +P 𝐴)<P (1P +P 𝐵)))
9	7, 3, 2, 8	syl3anc 1216	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴<P 𝐵 ↔ (1P +P 𝐴)<P (1P +P 𝐵)))
10		addcomprg 7386	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (𝐴 +P 1P) = (1P +P 𝐴))
11	7, 2, 10	syl2anc 408	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴 +P 1P) = (1P +P 𝐴))
12	11	breq1d 3939	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ((𝐴 +P 1P)<P (1P +P 𝐵) ↔ (1P +P 𝐴)<P (1P +P 𝐵)))
13		ltaprg 7427	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P ∧ ℎ ∈ P) → (𝑓<P 𝑔 ↔ (ℎ +P 𝑓)<P (ℎ +P 𝑔)))
14	13	adantl 275	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ (𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P ∧ ℎ ∈ P)) → (𝑓<P 𝑔 ↔ (ℎ +P 𝑓)<P (ℎ +P 𝑔)))
15		addclpr 7345	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (𝐴 +P 1P) ∈ P)
16	7, 2, 15	syl2anc 408	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴 +P 1P) ∈ P)
17		addclpr 7345	. . . . 5 ⊢ ((1P ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (1P +P 𝐵) ∈ P)
18	2, 3, 17	syl2anc 408	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (1P +P 𝐵) ∈ P)
19		addcomprg 7386	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P) → (𝑓 +P 𝑔) = (𝑔 +P 𝑓))
20	19	adantl 275	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ (𝑓 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ P)) → (𝑓 +P 𝑔) = (𝑔 +P 𝑓))
21	14, 16, 18, 2, 20	caovord2d 5940	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ((𝐴 +P 1P)<P (1P +P 𝐵) ↔ ((𝐴 +P 1P) +P 1P)<P ((1P +P 𝐵) +P 1P)))
22	9, 12, 21	3bitr2d 215	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴<P 𝐵 ↔ ((𝐴 +P 1P) +P 1P)<P ((1P +P 𝐵) +P 1P)))
23		addclpr 7345	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (𝐵 +P 1P) ∈ P)
24	3, 2, 23	syl2anc 408	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐵 +P 1P) ∈ P)
25		ltsrprg 7555	. . 3 ⊢ ((((𝐴 +P 1P) ∈ P ∧ 1P ∈ P) ∧ ((𝐵 +P 1P) ∈ P ∧ 1P ∈ P)) → ([⟨(𝐴 +P 1P), 1P⟩] ~R <R [⟨(𝐵 +P 1P), 1P⟩] ~R ↔ ((𝐴 +P 1P) +P 1P)<P (1P +P (𝐵 +P 1P))))
26	16, 2, 24, 2, 25	syl22anc 1217	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ([⟨(𝐴 +P 1P), 1P⟩] ~R <R [⟨(𝐵 +P 1P), 1P⟩] ~R ↔ ((𝐴 +P 1P) +P 1P)<P (1P +P (𝐵 +P 1P))))
27	6, 22, 26	3bitr4d 219	1 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴<P 𝐵 ↔ [⟨(𝐴 +P 1P), 1P⟩] ~R <R [⟨(𝐵 +P 1P), 1P⟩] ~R ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 962   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ⟨cop 3530   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  [cec 6427  Pcnp 7099  1_Pc1p 7100   +_P cpp 7101  <_P cltp 7103   ~_R cer 7104   <_R cltr 7111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-2o 6314  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7112  df-pli 7113  df-mi 7114  df-lti 7115  df-plpq 7152  df-mpq 7153  df-enq 7155  df-nqqs 7156  df-plqqs 7157  df-mqqs 7158  df-1nqqs 7159  df-rq 7160  df-ltnqqs 7161  df-enq0 7232  df-nq0 7233  df-0nq0 7234  df-plq0 7235  df-mq0 7236  df-inp 7274  df-i1p 7275  df-iplp 7276  df-iltp 7278  df-enr 7534  df-nr 7535  df-ltr 7538

This theorem is referenced by:  caucvgsrlemcau  7601  caucvgsrlembound  7602  caucvgsrlemgt1  7603  ltrennb  7662