ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prssnqu GIF version

Theorem prssnqu 6559
Description: A positive real's upper cut is a subset of the positive fractions. It would presumably be possible to also prove 𝑈Q, but we only need 𝑈Q so far. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
prssnqu (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝑈Q)

Proof of Theorem prssnqu
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elinp 6553 . 2 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑥Q 𝑥𝐿 ∧ ∃𝑦Q 𝑦𝑈)) ∧ ((∀𝑥Q (𝑥𝐿 ↔ ∃𝑦Q (𝑥 <Q 𝑦𝑦𝐿)) ∧ ∀𝑦Q (𝑦𝑈 ↔ ∃𝑥Q (𝑥 <Q 𝑦𝑥𝑈))) ∧ ∀𝑥Q ¬ (𝑥𝐿𝑥𝑈) ∧ ∀𝑥Q𝑦Q (𝑥 <Q 𝑦 → (𝑥𝐿𝑦𝑈)))))
2 simpllr 486 . 2 ((((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑥Q 𝑥𝐿 ∧ ∃𝑦Q 𝑦𝑈)) ∧ ((∀𝑥Q (𝑥𝐿 ↔ ∃𝑦Q (𝑥 <Q 𝑦𝑦𝐿)) ∧ ∀𝑦Q (𝑦𝑈 ↔ ∃𝑥Q (𝑥 <Q 𝑦𝑥𝑈))) ∧ ∀𝑥Q ¬ (𝑥𝐿𝑥𝑈) ∧ ∀𝑥Q𝑦Q (𝑥 <Q 𝑦 → (𝑥𝐿𝑦𝑈)))) → 𝑈Q)
31, 2sylbi 114 1 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝑈Q)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 97  wb 98  wo 629  w3a 885  wcel 1393  wral 2303  wrex 2304  wss 2914  cop 3375   class class class wbr 3761  Qcnq 6359   <Q cltq 6364  Pcnp 6370
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3869  ax-sep 3872  ax-pow 3924  ax-pr 3941  ax-un 4166  ax-iinf 4298
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2308  df-rex 2309  df-reu 2310  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-csb 2850  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-uni 3578  df-int 3613  df-iun 3656  df-br 3762  df-opab 3816  df-mpt 3817  df-id 4027  df-iom 4301  df-xp 4338  df-rel 4339  df-cnv 4340  df-co 4341  df-dm 4342  df-rn 4343  df-res 4344  df-ima 4345  df-iota 4854  df-fun 4891  df-fn 4892  df-f 4893  df-f1 4894  df-fo 4895  df-f1o 4896  df-fv 4897  df-qs 6099  df-ni 6383  df-nqqs 6427  df-inp 6545
This theorem is referenced by:  elprnqu  6561
  Copyright terms: Public domain W3C validator