ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prubl GIF version

Theorem prubl 6815
Description: A positive fraction not in a lower cut is an upper bound. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
prubl (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) ∧ 𝐶Q) → (¬ 𝐶𝐿𝐵 <Q 𝐶))

Proof of Theorem prubl
StepHypRef Expression
1 eleq1 2145 . . . . . . 7 (𝐵 = 𝐶 → (𝐵𝐿𝐶𝐿))
21biimpcd 157 . . . . . 6 (𝐵𝐿 → (𝐵 = 𝐶𝐶𝐿))
32adantl 271 . . . . 5 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → (𝐵 = 𝐶𝐶𝐿))
4 prcdnql 6813 . . . . 5 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → (𝐶 <Q 𝐵𝐶𝐿))
53, 4jaod 670 . . . 4 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → ((𝐵 = 𝐶𝐶 <Q 𝐵) → 𝐶𝐿))
65con3d 594 . . 3 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → (¬ 𝐶𝐿 → ¬ (𝐵 = 𝐶𝐶 <Q 𝐵)))
76adantr 270 . 2 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) ∧ 𝐶Q) → (¬ 𝐶𝐿 → ¬ (𝐵 = 𝐶𝐶 <Q 𝐵)))
8 elprnql 6810 . . 3 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → 𝐵Q)
9 nqtric 6728 . . 3 ((𝐵Q𝐶Q) → (𝐵 <Q 𝐶 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐶𝐶 <Q 𝐵)))
108, 9sylan 277 . 2 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) ∧ 𝐶Q) → (𝐵 <Q 𝐶 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐶𝐶 <Q 𝐵)))
117, 10sylibrd 167 1 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) ∧ 𝐶Q) → (¬ 𝐶𝐿𝐵 <Q 𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662   = wceq 1285  wcel 1434  cop 3420   class class class wbr 3806  Qcnq 6609   <Q cltq 6614  Pcnp 6620
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3914  ax-sep 3917  ax-nul 3925  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-iinf 4358
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2613  df-sbc 2826  df-csb 2919  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-nul 3269  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-int 3658  df-iun 3701  df-br 3807  df-opab 3861  df-mpt 3862  df-tr 3897  df-eprel 4073  df-id 4077  df-po 4080  df-iso 4081  df-iord 4150  df-on 4152  df-suc 4155  df-iom 4361  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-rn 4403  df-res 4404  df-ima 4405  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fn 4956  df-f 4957  df-f1 4958  df-fo 4959  df-f1o 4960  df-fv 4961  df-ov 5568  df-oprab 5569  df-mpt2 5570  df-1st 5820  df-2nd 5821  df-recs 5976  df-irdg 6041  df-oadd 6091  df-omul 6092  df-er 6195  df-ec 6197  df-qs 6201  df-ni 6633  df-mi 6635  df-lti 6636  df-enq 6676  df-nqqs 6677  df-ltnqqs 6682  df-inp 6795
This theorem is referenced by:  prltlu  6816
  Copyright terms: Public domain W3C validator