ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pw2dvds GIF version

Theorem pw2dvds 10254
Description: A natural number has a highest power of two which divides it. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
pw2dvds (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁))
Distinct variable group:   𝑚,𝑁

Proof of Theorem pw2dvds
StepHypRef Expression
1 id 19 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
2 2nn 8144 . . . 4 2 ∈ ℕ
3 nnnn0 8246 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
4 nnexpcl 9433 . . . 4 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
52, 3, 4sylancr 399 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
6 1zzd 8329 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
7 2z 8330 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
8 zexpcl 9435 . . . . . 6 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
97, 3, 8sylancr 399 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
109, 6zsubcld 8424 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑𝑁) − 1) ∈ ℤ)
11 nnz 8321 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
12 nnge1 8013 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
13 uzid 8583 . . . . . . 7 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
147, 13ax-mp 7 . . . . . 6 2 ∈ (ℤ‘2)
15 bernneq3 9539 . . . . . 6 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 < (2↑𝑁))
1614, 3, 15sylancr 399 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < (2↑𝑁))
17 zltlem1 8359 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℤ) → (𝑁 < (2↑𝑁) ↔ 𝑁 ≤ ((2↑𝑁) − 1)))
1811, 9, 17syl2anc 397 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 < (2↑𝑁) ↔ 𝑁 ≤ ((2↑𝑁) − 1)))
1916, 18mpbid 139 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≤ ((2↑𝑁) − 1))
20 elfz4 8985 . . . 4 (((1 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑁) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ ((2↑𝑁) − 1))) → 𝑁 ∈ (1...((2↑𝑁) − 1)))
216, 10, 11, 12, 19, 20syl32anc 1154 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (1...((2↑𝑁) − 1)))
22 fzm1ndvds 10168 . . 3 (((2↑𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...((2↑𝑁) − 1))) → ¬ (2↑𝑁) ∥ 𝑁)
235, 21, 22syl2anc 397 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ¬ (2↑𝑁) ∥ 𝑁)
24 pw2dvdslemn 10253 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ (2↑𝑁) ∥ 𝑁) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁))
251, 23, 24mpd3an23 1245 1 (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 101  wb 102  wcel 1409  wrex 2324   class class class wbr 3792  cfv 4930  (class class class)co 5540  1c1 6948   + caddc 6950   < clt 7119  cle 7120  cmin 7245  cn 7990  2c2 8040  0cn0 8239  cz 8302  cuz 8569  ...cfz 8976  cexp 9419  cdvds 10108
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-mulrcl 7041  ax-addcom 7042  ax-mulcom 7043  ax-addass 7044  ax-mulass 7045  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-1rid 7049  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-precex 7052  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-apti 7057  ax-pre-ltadd 7058  ax-pre-mulgt0 7059  ax-pre-mulext 7060  ax-arch 7061
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-if 3360  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-frec 6009  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-reap 7640  df-ap 7647  df-div 7726  df-inn 7991  df-2 8049  df-n0 8240  df-z 8303  df-uz 8570  df-q 8652  df-rp 8682  df-fz 8977  df-fl 9222  df-mod 9273  df-iseq 9376  df-iexp 9420  df-dvds 10109
This theorem is referenced by:  pw2dvdseu  10256  oddpwdclemdvds  10258  oddpwdclemndvds  10259
  Copyright terms: Public domain W3C validator