Theorem pwprss 3727

Description: The power set of an unordered pair. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
pwprss	⊢ ({∅, {𝐴}} ∪ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}}) ⊆ 𝒫 {𝐴, 𝐵}

Proof of Theorem pwprss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2684	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	elpr 3543	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {∅, {𝐴}} ↔ (𝑥 = ∅ ∨ 𝑥 = {𝐴}))
3	1	elpr 3543	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}} ↔ (𝑥 = {𝐵} ∨ 𝑥 = {𝐴, 𝐵}))
4	2, 3	orbi12i 753	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {∅, {𝐴}} ∨ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}}) ↔ ((𝑥 = ∅ ∨ 𝑥 = {𝐴}) ∨ (𝑥 = {𝐵} ∨ 𝑥 = {𝐴, 𝐵})))
5		ssprr 3678	. . . 4 ⊢ (((𝑥 = ∅ ∨ 𝑥 = {𝐴}) ∨ (𝑥 = {𝐵} ∨ 𝑥 = {𝐴, 𝐵})) → 𝑥 ⊆ {𝐴, 𝐵})
6	4, 5	sylbi 120	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ {∅, {𝐴}} ∨ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}}) → 𝑥 ⊆ {𝐴, 𝐵})
7		elun 3212	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ({∅, {𝐴}} ∪ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}}) ↔ (𝑥 ∈ {∅, {𝐴}} ∨ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}}))
8	1	elpw 3511	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ↔ 𝑥 ⊆ {𝐴, 𝐵})
9	6, 7, 8	3imtr4i 200	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ({∅, {𝐴}} ∪ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}}) → 𝑥 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵})
10	9	ssriv 3096	1 ⊢ ({∅, {𝐴}} ∪ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}}) ⊆ 𝒫 {𝐴, 𝐵}

Syntax hints:   ∨ wo 697   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   ∪ cun 3064   ⊆ wss 3066  ∅c0 3358  𝒫 cpw 3505  {csn 3522  {cpr 3523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529

This theorem is referenced by:  pwpwpw0ss  3729  ord3ex  4109