Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qbtwnrelemcalc GIF version

Theorem qbtwnrelemcalc 9211
 Description: Lemma for qbtwnre 9212. Calculations involved in showing the constructed rational number is less than 𝐵. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
qbtwnrelemcalc.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
qbtwnrelemcalc.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
qbtwnrelemcalc.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
qbtwnrelemcalc.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
qbtwnrelemcalc.lt (𝜑𝑀 < (𝐴 · (2 · 𝑁)))
qbtwnrelemcalc.1n (𝜑 → (1 / 𝑁) < (𝐵𝐴))
Assertion
Ref Expression
qbtwnrelemcalc (𝜑 → ((𝑀 + 2) / (2 · 𝑁)) < 𝐵)

Proof of Theorem qbtwnrelemcalc
StepHypRef Expression
1 2re 8059 . . . . 5 2 ∈ ℝ
21a1i 9 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
3 qbtwnrelemcalc.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4 qbtwnrelemcalc.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
54nnred 8002 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
62, 5remulcld 7114 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
73, 6remulcld 7114 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 · (2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
8 qbtwnrelemcalc.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
98, 6remulcld 7114 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 · (2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
107, 9resubcld 7450 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 · (2 · 𝑁)) − (𝐴 · (2 · 𝑁))) ∈ ℝ)
11 qbtwnrelemcalc.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1211zred 8418 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
137, 12resubcld 7450 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 · (2 · 𝑁)) − 𝑀) ∈ ℝ)
14 2t1e2 8135 . . . . . . . . 9 (2 · 1) = 2
1514oveq1i 5549 . . . . . . . 8 ((2 · 1) / (2 · 𝑁)) = (2 / (2 · 𝑁))
16 1cnd 7100 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
175recnd 7112 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
182recnd 7112 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
194nnap0d 8034 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 # 0)
20 2ap0 8082 . . . . . . . . . 10 2 # 0
2120a1i 9 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 # 0)
2216, 17, 18, 19, 21divcanap5d 7865 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · 1) / (2 · 𝑁)) = (1 / 𝑁))
2315, 22syl5eqr 2102 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 / (2 · 𝑁)) = (1 / 𝑁))
24 qbtwnrelemcalc.1n . . . . . . 7 (𝜑 → (1 / 𝑁) < (𝐵𝐴))
2523, 24eqbrtrd 3811 . . . . . 6 (𝜑 → (2 / (2 · 𝑁)) < (𝐵𝐴))
263, 8resubcld 7450 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
27 2rp 8685 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ+
2827a1i 9 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
294nnrpd 8718 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
3028, 29rpmulcld 8736 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
312, 26, 30ltdivmul2d 8772 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 / (2 · 𝑁)) < (𝐵𝐴) ↔ 2 < ((𝐵𝐴) · (2 · 𝑁))))
3225, 31mpbid 139 . . . . 5 (𝜑 → 2 < ((𝐵𝐴) · (2 · 𝑁)))
333recnd 7112 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
348recnd 7112 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3518, 17mulcld 7104 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
3633, 34, 35subdird 7483 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵𝐴) · (2 · 𝑁)) = ((𝐵 · (2 · 𝑁)) − (𝐴 · (2 · 𝑁))))
3732, 36breqtrd 3815 . . . 4 (𝜑 → 2 < ((𝐵 · (2 · 𝑁)) − (𝐴 · (2 · 𝑁))))
38 qbtwnrelemcalc.lt . . . . 5 (𝜑𝑀 < (𝐴 · (2 · 𝑁)))
3912, 9, 7, 38ltsub2dd 7622 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 · (2 · 𝑁)) − (𝐴 · (2 · 𝑁))) < ((𝐵 · (2 · 𝑁)) − 𝑀))
402, 10, 13, 37, 39lttrd 7200 . . 3 (𝜑 → 2 < ((𝐵 · (2 · 𝑁)) − 𝑀))
4112, 2, 7ltaddsub2d 7610 . . 3 (𝜑 → ((𝑀 + 2) < (𝐵 · (2 · 𝑁)) ↔ 2 < ((𝐵 · (2 · 𝑁)) − 𝑀)))
4240, 41mpbird 160 . 2 (𝜑 → (𝑀 + 2) < (𝐵 · (2 · 𝑁)))
4312, 2readdcld 7113 . . 3 (𝜑 → (𝑀 + 2) ∈ ℝ)
4443, 3, 30ltdivmul2d 8772 . 2 (𝜑 → (((𝑀 + 2) / (2 · 𝑁)) < 𝐵 ↔ (𝑀 + 2) < (𝐵 · (2 · 𝑁))))
4542, 44mpbird 160 1 (𝜑 → ((𝑀 + 2) / (2 · 𝑁)) < 𝐵)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1409   class class class wbr 3791  (class class class)co 5539  ℝcr 6945  0cc0 6946  1c1 6947   + caddc 6949   · cmul 6951   < clt 7118   − cmin 7244   # cap 7645   / cdiv 7724  ℕcn 7989  2c2 8039  ℤcz 8301  ℝ+crp 8680 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033  ax-1cn 7034  ax-1re 7035  ax-icn 7036  ax-addcl 7037  ax-addrcl 7038  ax-mulcl 7039  ax-mulrcl 7040  ax-addcom 7041  ax-mulcom 7042  ax-addass 7043  ax-mulass 7044  ax-distr 7045  ax-i2m1 7046  ax-1rid 7048  ax-0id 7049  ax-rnegex 7050  ax-precex 7051  ax-cnre 7052  ax-pre-ltirr 7053  ax-pre-ltwlin 7054  ax-pre-lttrn 7055  ax-pre-apti 7056  ax-pre-ltadd 7057  ax-pre-mulgt0 7058  ax-pre-mulext 7059 This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-eprel 4053  df-id 4057  df-po 4060  df-iso 4061  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-riota 5495  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-1o 6031  df-2o 6032  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-pli 6460  df-mi 6461  df-lti 6462  df-plpq 6499  df-mpq 6500  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-plqqs 6504  df-mqqs 6505  df-1nqqs 6506  df-rq 6507  df-ltnqqs 6508  df-enq0 6579  df-nq0 6580  df-0nq0 6581  df-plq0 6582  df-mq0 6583  df-inp 6621  df-i1p 6622  df-iplp 6623  df-iltp 6625  df-enr 6868  df-nr 6869  df-ltr 6872  df-0r 6873  df-1r 6874  df-0 6953  df-1 6954  df-r 6956  df-lt 6959  df-pnf 7120  df-mnf 7121  df-xr 7122  df-ltxr 7123  df-le 7124  df-sub 7246  df-neg 7247  df-reap 7639  df-ap 7646  df-div 7725  df-inn 7990  df-2 8048  df-z 8302  df-rp 8681 This theorem is referenced by:  qbtwnre  9212
 Copyright terms: Public domain W3C validator