ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qbtwnxr GIF version

Theorem qbtwnxr 9214
Description: The rational numbers are dense in *: any two extended real numbers have a rational between them. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
qbtwnxr ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem qbtwnxr
StepHypRef Expression
1 elxr 8797 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2 elxr 8797 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
3 qbtwnre 9213 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
433expia 1117 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
5 simpl 106 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
6 peano2re 7210 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
76adantr 265 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
8 ltp1 7885 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))
98adantr 265 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → 𝐴 < (𝐴 + 1))
10 qbtwnre 9213 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < (𝐴 + 1)) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < (𝐴 + 1)))
115, 7, 9, 10syl3anc 1146 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < (𝐴 + 1)))
12 qre 8657 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
13 ltpnf 8803 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
1412, 13syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 < +∞)
1514adantl 266 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → 𝑥 < +∞)
16 simplr 490 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → 𝐵 = +∞)
1715, 16breqtrrd 3818 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → 𝑥 < 𝐵)
1817a1d 22 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → (𝑥 < (𝐴 + 1) → 𝑥 < 𝐵))
1918anim2d 324 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → ((𝐴 < 𝑥𝑥 < (𝐴 + 1)) → (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
2019reximdva 2438 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < (𝐴 + 1)) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
2111, 20mpd 13 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
2221a1d 22 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
23 rexr 7130 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
24 breq2 3796 . . . . . . . . 9 (𝐵 = -∞ → (𝐴 < 𝐵𝐴 < -∞))
2524adantl 266 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵𝐴 < -∞))
26 nltmnf 8810 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < -∞)
2726adantr 265 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → ¬ 𝐴 < -∞)
2827pm2.21d 559 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (𝐴 < -∞ → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
2925, 28sylbid 143 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
3023, 29sylan 271 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
314, 22, 303jaodan 1212 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞)) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
322, 31sylan2b 275 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
33 breq1 3795 . . . . . 6 (𝐴 = +∞ → (𝐴 < 𝐵 ↔ +∞ < 𝐵))
3433adantr 265 . . . . 5 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ +∞ < 𝐵))
35 pnfnlt 8809 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐵)
3635adantl 266 . . . . . 6 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ¬ +∞ < 𝐵)
3736pm2.21d 559 . . . . 5 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (+∞ < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
3834, 37sylbid 143 . . . 4 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
39 peano2rem 7341 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
4039adantl 266 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
41 simpr 107 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
42 ltm1 7887 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 − 1) < 𝐵)
4342adantl 266 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 − 1) < 𝐵)
44 qbtwnre 9213 . . . . . . . . 9 (((𝐵 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 1) < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ ((𝐵 − 1) < 𝑥𝑥 < 𝐵))
4540, 41, 43, 44syl3anc 1146 . . . . . . . 8 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℚ ((𝐵 − 1) < 𝑥𝑥 < 𝐵))
46 simpll 489 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → 𝐴 = -∞)
4712adantl 266 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → 𝑥 ∈ ℝ)
48 mnflt 8805 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ → -∞ < 𝑥)
4947, 48syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → -∞ < 𝑥)
5046, 49eqbrtrd 3812 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → 𝐴 < 𝑥)
5150a1d 22 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → ((𝐵 − 1) < 𝑥𝐴 < 𝑥))
5251anim1d 323 . . . . . . . . 9 (((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℚ) → (((𝐵 − 1) < 𝑥𝑥 < 𝐵) → (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
5352reximdva 2438 . . . . . . . 8 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℚ ((𝐵 − 1) < 𝑥𝑥 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
5445, 53mpd 13 . . . . . . 7 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
5554a1d 22 . . . . . 6 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
56 1re 7084 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
57 mnflt 8805 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℝ → -∞ < 1)
5856, 57ax-mp 7 . . . . . . . . 9 -∞ < 1
59 breq1 3795 . . . . . . . . 9 (𝐴 = -∞ → (𝐴 < 1 ↔ -∞ < 1))
6058, 59mpbiri 161 . . . . . . . 8 (𝐴 = -∞ → 𝐴 < 1)
61 ltpnf 8803 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
6256, 61ax-mp 7 . . . . . . . . 9 1 < +∞
63 breq2 3796 . . . . . . . . 9 (𝐵 = +∞ → (1 < 𝐵 ↔ 1 < +∞))
6462, 63mpbiri 161 . . . . . . . 8 (𝐵 = +∞ → 1 < 𝐵)
65 1z 8328 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℤ
66 zq 8658 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
6765, 66ax-mp 7 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℚ
68 breq2 3796 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → (𝐴 < 𝑥𝐴 < 1))
69 breq1 3795 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → (𝑥 < 𝐵 ↔ 1 < 𝐵))
7068, 69anbi12d 450 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → ((𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵) ↔ (𝐴 < 1 ∧ 1 < 𝐵)))
7170rspcev 2673 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 1 ∧ 1 < 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
7267, 71mpan 408 . . . . . . . 8 ((𝐴 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
7360, 64, 72syl2an 277 . . . . . . 7 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 = +∞) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
7473a1d 22 . . . . . 6 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
75 3mix3 1086 . . . . . . . 8 (𝐴 = -∞ → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
7675, 1sylibr 141 . . . . . . 7 (𝐴 = -∞ → 𝐴 ∈ ℝ*)
7776, 29sylan 271 . . . . . 6 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
7855, 74, 773jaodan 1212 . . . . 5 ((𝐴 = -∞ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞)) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
792, 78sylan2b 275 . . . 4 ((𝐴 = -∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
8032, 38, 793jaoian 1211 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
811, 80sylanb 272 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
82813impia 1112 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 101  wb 102  w3o 895  w3a 896   = wceq 1259  wcel 1409  wrex 2324   class class class wbr 3792  (class class class)co 5540  cr 6946  1c1 6948   + caddc 6950  +∞cpnf 7116  -∞cmnf 7117  *cxr 7118   < clt 7119  cmin 7245  cz 8302  cq 8651
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-mulrcl 7041  ax-addcom 7042  ax-mulcom 7043  ax-addass 7044  ax-mulass 7045  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-1rid 7049  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-precex 7052  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-apti 7057  ax-pre-ltadd 7058  ax-pre-mulgt0 7059  ax-pre-mulext 7060  ax-arch 7061
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-reap 7640  df-ap 7647  df-div 7726  df-inn 7991  df-2 8049  df-n0 8240  df-z 8303  df-uz 8570  df-q 8652  df-rp 8682
This theorem is referenced by:  ioo0  9216  ioom  9217  ico0  9218  ioc0  9219
  Copyright terms: Public domain W3C validator