Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qbtwnz GIF version

Theorem qbtwnz 9207
 Description: There is a unique greatest integer less than or equal to a rational number. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
qbtwnz (𝐴 ∈ ℚ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem qbtwnz
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qbtwnzlemex 9206 . 2 (𝐴 ∈ ℚ → ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))
2 simplrl 495 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦𝐴𝐴 < (𝑦 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℤ)
32zred 8418 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦𝐴𝐴 < (𝑦 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
4 qre 8656 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
54ad2antrr 465 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦𝐴𝐴 < (𝑦 + 1)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
6 simplrr 496 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦𝐴𝐴 < (𝑦 + 1)))) → 𝑦 ∈ ℤ)
76zred 8418 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦𝐴𝐴 < (𝑦 + 1)))) → 𝑦 ∈ ℝ)
8 1red 7099 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦𝐴𝐴 < (𝑦 + 1)))) → 1 ∈ ℝ)
97, 8readdcld 7113 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦𝐴𝐴 < (𝑦 + 1)))) → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
10 simprll 497 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦𝐴𝐴 < (𝑦 + 1)))) → 𝑥𝐴)
11 simprrr 500 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦𝐴𝐴 < (𝑦 + 1)))) → 𝐴 < (𝑦 + 1))
123, 5, 9, 10, 11lelttrd 7199 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦𝐴𝐴 < (𝑦 + 1)))) → 𝑥 < (𝑦 + 1))
13 zleltp1 8356 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥𝑦𝑥 < (𝑦 + 1)))
142, 6, 13syl2anc 397 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦𝐴𝐴 < (𝑦 + 1)))) → (𝑥𝑦𝑥 < (𝑦 + 1)))
1512, 14mpbird 160 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦𝐴𝐴 < (𝑦 + 1)))) → 𝑥𝑦)
163, 8readdcld 7113 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦𝐴𝐴 < (𝑦 + 1)))) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
17 simprrl 499 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦𝐴𝐴 < (𝑦 + 1)))) → 𝑦𝐴)
18 simprlr 498 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦𝐴𝐴 < (𝑦 + 1)))) → 𝐴 < (𝑥 + 1))
197, 5, 16, 17, 18lelttrd 7199 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦𝐴𝐴 < (𝑦 + 1)))) → 𝑦 < (𝑥 + 1))
20 zleltp1 8356 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦𝑥𝑦 < (𝑥 + 1)))
216, 2, 20syl2anc 397 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦𝐴𝐴 < (𝑦 + 1)))) → (𝑦𝑥𝑦 < (𝑥 + 1)))
2219, 21mpbird 160 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦𝐴𝐴 < (𝑦 + 1)))) → 𝑦𝑥)
233, 7letri3d 7191 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦𝐴𝐴 < (𝑦 + 1)))) → (𝑥 = 𝑦 ↔ (𝑥𝑦𝑦𝑥)))
2415, 22, 23mpbir2and 862 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ ((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦𝐴𝐴 < (𝑦 + 1)))) → 𝑥 = 𝑦)
2524ex 112 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦𝐴𝐴 < (𝑦 + 1))) → 𝑥 = 𝑦))
2625ralrimivva 2418 . . 3 (𝐴 ∈ ℚ → ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦𝐴𝐴 < (𝑦 + 1))) → 𝑥 = 𝑦))
27 breq1 3794 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
28 oveq1 5546 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 + 1) = (𝑦 + 1))
2928breq2d 3803 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 < (𝑥 + 1) ↔ 𝐴 < (𝑦 + 1)))
3027, 29anbi12d 450 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ↔ (𝑦𝐴𝐴 < (𝑦 + 1))))
3130rmo4 2756 . . 3 (∃*𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ (𝑦𝐴𝐴 < (𝑦 + 1))) → 𝑥 = 𝑦))
3226, 31sylibr 141 . 2 (𝐴 ∈ ℚ → ∃*𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))
33 reu5 2539 . 2 (∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ↔ (∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ∧ ∃*𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))))
341, 32, 33sylanbrc 402 1 (𝐴 ∈ ℚ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 101   ↔ wb 102   ∈ wcel 1409  ∀wral 2323  ∃wrex 2324  ∃!wreu 2325  ∃*wrmo 2326   class class class wbr 3791  (class class class)co 5539  ℝcr 6945  1c1 6947   + caddc 6949   < clt 7118   ≤ cle 7119  ℤcz 8301  ℚcq 8650 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033  ax-1cn 7034  ax-1re 7035  ax-icn 7036  ax-addcl 7037  ax-addrcl 7038  ax-mulcl 7039  ax-mulrcl 7040  ax-addcom 7041  ax-mulcom 7042  ax-addass 7043  ax-mulass 7044  ax-distr 7045  ax-i2m1 7046  ax-1rid 7048  ax-0id 7049  ax-rnegex 7050  ax-precex 7051  ax-cnre 7052  ax-pre-ltirr 7053  ax-pre-ltwlin 7054  ax-pre-lttrn 7055  ax-pre-apti 7056  ax-pre-ltadd 7057  ax-pre-mulgt0 7058  ax-pre-mulext 7059  ax-arch 7060 This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-eprel 4053  df-id 4057  df-po 4060  df-iso 4061  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-riota 5495  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-1o 6031  df-2o 6032  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-pli 6460  df-mi 6461  df-lti 6462  df-plpq 6499  df-mpq 6500  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-plqqs 6504  df-mqqs 6505  df-1nqqs 6506  df-rq 6507  df-ltnqqs 6508  df-enq0 6579  df-nq0 6580  df-0nq0 6581  df-plq0 6582  df-mq0 6583  df-inp 6621  df-i1p 6622  df-iplp 6623  df-iltp 6625  df-enr 6868  df-nr 6869  df-ltr 6872  df-0r 6873  df-1r 6874  df-0 6953  df-1 6954  df-r 6956  df-lt 6959  df-pnf 7120  df-mnf 7121  df-xr 7122  df-ltxr 7123  df-le 7124  df-sub 7246  df-neg 7247  df-reap 7639  df-ap 7646  df-div 7725  df-inn 7990  df-n0 8239  df-z 8302  df-q 8651  df-rp 8681 This theorem is referenced by:  flqcl  9224  flqlelt  9225  flqbi  9239
 Copyright terms: Public domain W3C validator