ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qbtwnzlemstep GIF version

Theorem qbtwnzlemstep 9175
Description: Lemma for qbtwnz 9178. Induction step. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
qbtwnzlemstep ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝑚,𝐾

Proof of Theorem qbtwnzlemstep
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpllr 494 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝑚 ∈ ℤ)
2 simpll 489 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℕ)
32ad2antrr 465 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐾 ∈ ℕ)
43nnzd 8388 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐾 ∈ ℤ)
51, 4zaddcld 8393 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → (𝑚 + 𝐾) ∈ ℤ)
6 simpr 107 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴)
7 qre 8627 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
87ad4antlr 472 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
95zred 8389 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → (𝑚 + 𝐾) ∈ ℝ)
10 1red 7070 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
119, 10readdcld 7084 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → ((𝑚 + 𝐾) + 1) ∈ ℝ)
123nnred 7973 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐾 ∈ ℝ)
139, 12readdcld 7084 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → ((𝑚 + 𝐾) + 𝐾) ∈ ℝ)
14 simplrr 496 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))
151zcnd 8390 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝑚 ∈ ℂ)
163nncnd 7974 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐾 ∈ ℂ)
17 1cnd 7071 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 1 ∈ ℂ)
1815, 16, 17addassd 7077 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → ((𝑚 + 𝐾) + 1) = (𝑚 + (𝐾 + 1)))
1914, 18breqtrrd 3815 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐴 < ((𝑚 + 𝐾) + 1))
203nnge1d 8002 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 1 ≤ 𝐾)
2110, 12, 9, 20leadd2dd 7595 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → ((𝑚 + 𝐾) + 1) ≤ ((𝑚 + 𝐾) + 𝐾))
228, 11, 13, 19, 21ltletrd 7462 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → 𝐴 < ((𝑚 + 𝐾) + 𝐾))
23 breq1 3792 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑚 + 𝐾) → (𝑗𝐴 ↔ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴))
24 oveq1 5544 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = (𝑚 + 𝐾) → (𝑗 + 𝐾) = ((𝑚 + 𝐾) + 𝐾))
2524breq2d 3801 . . . . . . . . 9 (𝑗 = (𝑚 + 𝐾) → (𝐴 < (𝑗 + 𝐾) ↔ 𝐴 < ((𝑚 + 𝐾) + 𝐾)))
2623, 25anbi12d 450 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝑚 + 𝐾) → ((𝑗𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾)) ↔ ((𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴𝐴 < ((𝑚 + 𝐾) + 𝐾))))
2726rspcev 2671 . . . . . . 7 (((𝑚 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ ((𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴𝐴 < ((𝑚 + 𝐾) + 𝐾))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
285, 6, 22, 27syl12anc 1142 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ (𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
29 simpllr 494 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) → 𝑚 ∈ ℤ)
30 simplrl 495 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) → 𝑚𝐴)
31 simpr 107 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) → 𝐴 < (𝑚 + 𝐾))
32 breq1 3792 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑚 → (𝑗𝐴𝑚𝐴))
33 oveq1 5544 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑚 → (𝑗 + 𝐾) = (𝑚 + 𝐾))
3433breq2d 3801 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑚 → (𝐴 < (𝑗 + 𝐾) ↔ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))
3532, 34anbi12d 450 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑚 → ((𝑗𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾)) ↔ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐾))))
3635rspcev 2671 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐾))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
3729, 30, 31, 36syl12anc 1142 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) ∧ 𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
38 zq 8628 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℚ)
3938ad2antlr 466 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 𝑚 ∈ ℚ)
40 nnq 8635 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℚ)
4140ad3antrrr 469 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 𝐾 ∈ ℚ)
42 qaddcl 8637 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℚ ∧ 𝐾 ∈ ℚ) → (𝑚 + 𝐾) ∈ ℚ)
4339, 41, 42syl2anc 397 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → (𝑚 + 𝐾) ∈ ℚ)
44 simpllr 494 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → 𝐴 ∈ ℚ)
45 qlelttric 9172 . . . . . . 7 (((𝑚 + 𝐾) ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → ((𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))
4643, 44, 45syl2anc 397 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ((𝑚 + 𝐾) ≤ 𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))
4728, 37, 46mpjaodan 720 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) ∧ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
4847ex 112 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾))))
4948rexlimdva 2448 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾))))
50493impia 1110 . 2 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
51 breq1 3792 . . . 4 (𝑚 = 𝑗 → (𝑚𝐴𝑗𝐴))
52 oveq1 5544 . . . . 5 (𝑚 = 𝑗 → (𝑚 + 𝐾) = (𝑗 + 𝐾))
5352breq2d 3801 . . . 4 (𝑚 = 𝑗 → (𝐴 < (𝑚 + 𝐾) ↔ 𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
5451, 53anbi12d 450 . . 3 (𝑚 = 𝑗 → ((𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) ↔ (𝑗𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾))))
5554cbvrexv 2549 . 2 (∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐾)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝑗𝐴𝐴 < (𝑗 + 𝐾)))
5650, 55sylibr 141 1 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℚ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + (𝐾 + 1)))) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝑚𝐴𝐴 < (𝑚 + 𝐾)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wo 637  w3a 894   = wceq 1257  wcel 1407  wrex 2322   class class class wbr 3789  (class class class)co 5537  cr 6916  1c1 6918   + caddc 6920   < clt 7089  cle 7090  cn 7960  cz 8272  cq 8621
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 552  ax-in2 553  ax-io 638  ax-5 1350  ax-7 1351  ax-gen 1352  ax-ie1 1396  ax-ie2 1397  ax-8 1409  ax-10 1410  ax-11 1411  ax-i12 1412  ax-bndl 1413  ax-4 1414  ax-13 1418  ax-14 1419  ax-17 1433  ax-i9 1437  ax-ial 1441  ax-i5r 1442  ax-ext 2036  ax-coll 3897  ax-sep 3900  ax-nul 3908  ax-pow 3952  ax-pr 3969  ax-un 4195  ax-setind 4287  ax-iinf 4336  ax-cnex 7003  ax-resscn 7004  ax-1cn 7005  ax-1re 7006  ax-icn 7007  ax-addcl 7008  ax-addrcl 7009  ax-mulcl 7010  ax-mulrcl 7011  ax-addcom 7012  ax-mulcom 7013  ax-addass 7014  ax-mulass 7015  ax-distr 7016  ax-i2m1 7017  ax-1rid 7019  ax-0id 7020  ax-rnegex 7021  ax-precex 7022  ax-cnre 7023  ax-pre-ltirr 7024  ax-pre-ltwlin 7025  ax-pre-lttrn 7026  ax-pre-apti 7027  ax-pre-ltadd 7028  ax-pre-mulgt0 7029  ax-pre-mulext 7030
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 752  df-3or 895  df-3an 896  df-tru 1260  df-fal 1263  df-nf 1364  df-sb 1660  df-eu 1917  df-mo 1918  df-clab 2041  df-cleq 2047  df-clel 2050  df-nfc 2181  df-ne 2219  df-nel 2313  df-ral 2326  df-rex 2327  df-reu 2328  df-rmo 2329  df-rab 2330  df-v 2574  df-sbc 2785  df-csb 2878  df-dif 2945  df-un 2947  df-in 2949  df-ss 2956  df-nul 3250  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3606  df-int 3641  df-iun 3684  df-br 3790  df-opab 3844  df-mpt 3845  df-tr 3880  df-eprel 4051  df-id 4055  df-po 4058  df-iso 4059  df-iord 4128  df-on 4130  df-suc 4133  df-iom 4339  df-xp 4376  df-rel 4377  df-cnv 4378  df-co 4379  df-dm 4380  df-rn 4381  df-res 4382  df-ima 4383  df-iota 4892  df-fun 4929  df-fn 4930  df-f 4931  df-f1 4932  df-fo 4933  df-f1o 4934  df-fv 4935  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-recs 5948  df-irdg 5985  df-1o 6029  df-2o 6030  df-oadd 6033  df-omul 6034  df-er 6134  df-ec 6136  df-qs 6140  df-ni 6430  df-pli 6431  df-mi 6432  df-lti 6433  df-plpq 6470  df-mpq 6471  df-enq 6473  df-nqqs 6474  df-plqqs 6475  df-mqqs 6476  df-1nqqs 6477  df-rq 6478  df-ltnqqs 6479  df-enq0 6550  df-nq0 6551  df-0nq0 6552  df-plq0 6553  df-mq0 6554  df-inp 6592  df-i1p 6593  df-iplp 6594  df-iltp 6596  df-enr 6839  df-nr 6840  df-ltr 6843  df-0r 6844  df-1r 6845  df-0 6924  df-1 6925  df-r 6927  df-lt 6930  df-pnf 7091  df-mnf 7092  df-xr 7093  df-ltxr 7094  df-le 7095  df-sub 7217  df-neg 7218  df-reap 7610  df-ap 7617  df-div 7696  df-inn 7961  df-n0 8210  df-z 8273  df-q 8622  df-rp 8652
This theorem is referenced by:  qbtwnzlemshrink  9176
  Copyright terms: Public domain W3C validator