ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qltnle GIF version

Theorem qltnle 9991
Description: 'Less than' expressed in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
qltnle ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))

Proof of Theorem qltnle
StepHypRef Expression
1 qre 9385 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℝ)
2 qre 9385 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
3 lenlt 7808 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
41, 2, 3syl2anr 288 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
54biimpd 143 . . 3 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐵𝐴 → ¬ 𝐴 < 𝐵))
65con2d 598 . 2 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 < 𝐵 → ¬ 𝐵𝐴))
7 qtri3or 9988 . . 3 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴))
8 ax-1 6 . . . . 5 (𝐴 < 𝐵 → (¬ 𝐵𝐴𝐴 < 𝐵))
98a1i 9 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 < 𝐵 → (¬ 𝐵𝐴𝐴 < 𝐵)))
10 eqcom 2119 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 𝐵𝐵 = 𝐴)
11 eqle 7823 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = 𝐴) → 𝐵𝐴)
1210, 11sylan2b 285 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵𝐴)
1312ex 114 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 = 𝐵𝐵𝐴))
1413adantl 275 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵𝐵𝐴))
151, 14sylan2 284 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 = 𝐵𝐵𝐴))
16 pm2.24 595 . . . . 5 (𝐵𝐴 → (¬ 𝐵𝐴𝐴 < 𝐵))
1715, 16syl6 33 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐵𝐴𝐴 < 𝐵)))
18 ltle 7819 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴𝐵𝐴))
191, 2, 18syl2anr 288 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐵 < 𝐴𝐵𝐴))
2019, 16syl6 33 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐵 < 𝐴 → (¬ 𝐵𝐴𝐴 < 𝐵)))
219, 17, 203jaod 1267 . . 3 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → ((𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴) → (¬ 𝐵𝐴𝐴 < 𝐵)))
227, 21mpd 13 . 2 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (¬ 𝐵𝐴𝐴 < 𝐵))
236, 22impbid 128 1 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  w3o 946   = wceq 1316  wcel 1465   class class class wbr 3899  cr 7587   < clt 7768  cle 7769  cq 9379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-n0 8946  df-z 9023  df-q 9380  df-rp 9410
This theorem is referenced by:  flqlt  10024
  Copyright terms: Public domain W3C validator