Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qreccl GIF version

Theorem qreccl 8673
 Description: Closure of reciprocal of rationals. (Contributed by NM, 3-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
qreccl ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℚ)

Proof of Theorem qreccl
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 7034 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
2 1ap0 7654 . . . . . 6 1 # 0
31, 2div0api 7796 . . . . 5 (0 / 1) = 0
4 0z 8312 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
5 1nn 8000 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
6 znq 8655 . . . . . 6 ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ) → (0 / 1) ∈ ℚ)
74, 5, 6mp2an 410 . . . . 5 (0 / 1) ∈ ℚ
83, 7eqeltrri 2127 . . . 4 0 ∈ ℚ
9 qapne 8670 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℚ) → (𝐴 # 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
108, 9mpan2 409 . . 3 (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 # 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
1110biimpar 285 . 2 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 # 0)
12 elq 8653 . . . 4 (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
13 nnne0 8017 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ≠ 0)
1413ancli 310 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≠ 0))
15 nnz 8320 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
16 zapne 8372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑦 # 0 ↔ 𝑦 ≠ 0))
1715, 4, 16sylancl 398 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 # 0 ↔ 𝑦 ≠ 0))
1817adantl 266 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 # 0 ↔ 𝑦 ≠ 0))
1918pm5.32i 435 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 # 0) ↔ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0))
2019anbi1i 439 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 # 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) ↔ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
21 breq1 3794 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 # 0 ↔ (𝑥 / 𝑦) # 0))
22 zcn 8306 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
23 nncn 7997 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
2422, 23anim12i 325 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ))
25 divap0b 7735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0) → (𝑥 # 0 ↔ (𝑥 / 𝑦) # 0))
26253expa 1115 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 # 0) → (𝑥 # 0 ↔ (𝑥 / 𝑦) # 0))
2724, 26sylan 271 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 # 0) → (𝑥 # 0 ↔ (𝑥 / 𝑦) # 0))
2827bicomd 133 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 # 0) → ((𝑥 / 𝑦) # 0 ↔ 𝑥 # 0))
2921, 28sylan9bbr 444 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 # 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝐴 # 0 ↔ 𝑥 # 0))
3020, 29sylbir 129 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝐴 # 0 ↔ 𝑥 # 0))
31 simplll 493 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℤ)
32 zapne 8372 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑥 # 0 ↔ 𝑥 ≠ 0))
3331, 4, 32sylancl 398 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 # 0 ↔ 𝑥 ≠ 0))
3430, 33bitrd 181 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝐴 # 0 ↔ 𝑥 ≠ 0))
35 zmulcl 8354 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
3615, 35sylan2 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
3736adantr 265 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
38 msqznn 8396 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ)
3938adantlr 454 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ)
4037, 39jca 294 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ))
4140adantlr 454 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝑥 ≠ 0) → ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ))
4241adantlr 454 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ))
4320anbi1i 439 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 # 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) ∧ 𝑥 # 0) ↔ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) ∧ 𝑥 # 0))
4433pm5.32i 435 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) ∧ 𝑥 # 0) ↔ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 0))
4543, 44bitri 177 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 # 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) ∧ 𝑥 # 0) ↔ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 0))
46 oveq2 5547 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (1 / 𝐴) = (1 / (𝑥 / 𝑦)))
47 dividap 7751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) → (𝑥 / 𝑥) = 1)
4847adantr 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0)) → (𝑥 / 𝑥) = 1)
4948oveq1d 5554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0)) → ((𝑥 / 𝑥) / (𝑥 / 𝑦)) = (1 / (𝑥 / 𝑦)))
50 simpll 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0)) → 𝑥 ∈ ℂ)
51 simpl 106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0))
52 simpr 107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0)) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0))
53 divdivdivap 7763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0)) ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0))) → ((𝑥 / 𝑥) / (𝑥 / 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥)))
5450, 51, 51, 52, 53syl22anc 1147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0)) → ((𝑥 / 𝑥) / (𝑥 / 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥)))
5549, 54eqtr3d 2090 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0)) → (1 / (𝑥 / 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥)))
5655an4s 530 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 # 0 ∧ 𝑦 # 0)) → (1 / (𝑥 / 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥)))
5724, 56sylan 271 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 # 0 ∧ 𝑦 # 0)) → (1 / (𝑥 / 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥)))
5857anass1rs 513 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 # 0) ∧ 𝑥 # 0) → (1 / (𝑥 / 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥)))
5946, 58sylan9eqr 2110 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 # 0) ∧ 𝑥 # 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (1 / 𝐴) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥)))
6059an32s 510 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 # 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) ∧ 𝑥 # 0) → (1 / 𝐴) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥)))
6145, 60sylbir 129 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝐴) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥)))
6242, 61jca 294 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝐴) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥))))
6362ex 112 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 ≠ 0 → (((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝐴) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥)))))
6434, 63sylbid 143 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝐴 # 0 → (((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝐴) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥)))))
6564ex 112 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 # 0 → (((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝐴) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥))))))
6665anasss 385 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 # 0 → (((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝐴) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥))))))
6714, 66sylan2 274 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 # 0 → (((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝐴) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥))))))
68 rspceov 5574 . . . . . . . 8 (((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ ∧ (1 / 𝐴) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥))) → ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ (1 / 𝐴) = (𝑧 / 𝑤))
69683expa 1115 . . . . . . 7 ((((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝐴) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥))) → ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ (1 / 𝐴) = (𝑧 / 𝑤))
70 elq 8653 . . . . . . 7 ((1 / 𝐴) ∈ ℚ ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ (1 / 𝐴) = (𝑧 / 𝑤))
7169, 70sylibr 141 . . . . . 6 ((((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝐴) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥))) → (1 / 𝐴) ∈ ℚ)
7267, 71syl8 69 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 # 0 → (1 / 𝐴) ∈ ℚ)))
7372rexlimivv 2455 . . . 4 (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 # 0 → (1 / 𝐴) ∈ ℚ))
7412, 73sylbi 118 . . 3 (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 # 0 → (1 / 𝐴) ∈ ℚ))
7574imp 119 . 2 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 # 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℚ)
7611, 75syldan 270 1 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℚ)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 101   ↔ wb 102   = wceq 1259   ∈ wcel 1409   ≠ wne 2220  ∃wrex 2324   class class class wbr 3791  (class class class)co 5539  ℂcc 6944  0cc0 6946  1c1 6947   · cmul 6951   # cap 7645   / cdiv 7724  ℕcn 7989  ℤcz 8301  ℚcq 8650 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033  ax-1cn 7034  ax-1re 7035  ax-icn 7036  ax-addcl 7037  ax-addrcl 7038  ax-mulcl 7039  ax-mulrcl 7040  ax-addcom 7041  ax-mulcom 7042  ax-addass 7043  ax-mulass 7044  ax-distr 7045  ax-i2m1 7046  ax-1rid 7048  ax-0id 7049  ax-rnegex 7050  ax-precex 7051  ax-cnre 7052  ax-pre-ltirr 7053  ax-pre-ltwlin 7054  ax-pre-lttrn 7055  ax-pre-apti 7056  ax-pre-ltadd 7057  ax-pre-mulgt0 7058  ax-pre-mulext 7059 This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-eprel 4053  df-id 4057  df-po 4060  df-iso 4061  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-riota 5495  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-1o 6031  df-2o 6032  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-pli 6460  df-mi 6461  df-lti 6462  df-plpq 6499  df-mpq 6500  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-plqqs 6504  df-mqqs 6505  df-1nqqs 6506  df-rq 6507  df-ltnqqs 6508  df-enq0 6579  df-nq0 6580  df-0nq0 6581  df-plq0 6582  df-mq0 6583  df-inp 6621  df-i1p 6622  df-iplp 6623  df-iltp 6625  df-enr 6868  df-nr 6869  df-ltr 6872  df-0r 6873  df-1r 6874  df-0 6953  df-1 6954  df-r 6956  df-lt 6959  df-pnf 7120  df-mnf 7121  df-xr 7122  df-ltxr 7123  df-le 7124  df-sub 7246  df-neg 7247  df-reap 7639  df-ap 7646  df-div 7725  df-inn 7990  df-n0 8239  df-z 8302  df-q 8651 This theorem is referenced by:  qdivcl  8674  qexpclz  9440
 Copyright terms: Public domain W3C validator