Theorem qreccl 9434

Description: Closure of reciprocal of rationals. (Contributed by NM, 3-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
qreccl	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℚ)

Proof of Theorem qreccl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 7713	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		1ap0 8352	. . . . . 6 ⊢ 1 # 0
3	1, 2	div0api 8506	. . . . 5 ⊢ (0 / 1) = 0
4		0z 9065	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		1nn 8731	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
6		znq 9416	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ) → (0 / 1) ∈ ℚ)
7	4, 5, 6	mp2an 422	. . . . 5 ⊢ (0 / 1) ∈ ℚ
8	3, 7	eqeltrri 2213	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℚ
9		qapne 9431	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℚ) → (𝐴 # 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
10	8, 9	mpan2 421	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 # 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
11	10	biimpar 295	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 # 0)
12		elq 9414	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
13		nnne0 8748	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ≠ 0)
14	13	ancli 321	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≠ 0))
15		nnz 9073	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
16		zapne 9125	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑦 # 0 ↔ 𝑦 ≠ 0))
17	15, 4, 16	sylancl 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 # 0 ↔ 𝑦 ≠ 0))
18	17	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 # 0 ↔ 𝑦 ≠ 0))
19	18	pm5.32i 449	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 # 0) ↔ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0))
20	19	anbi1i 453	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 # 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) ↔ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
21		breq1 3932	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 # 0 ↔ (𝑥 / 𝑦) # 0))
22		zcn 9059	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
23		nncn 8728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
24	22, 23	anim12i 336	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ))
25		divap0b 8443	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0) → (𝑥 # 0 ↔ (𝑥 / 𝑦) # 0))
26	25	3expa 1181	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑦 # 0) → (𝑥 # 0 ↔ (𝑥 / 𝑦) # 0))
27	24, 26	sylan 281	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 # 0) → (𝑥 # 0 ↔ (𝑥 / 𝑦) # 0))
28	27	bicomd 140	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 # 0) → ((𝑥 / 𝑦) # 0 ↔ 𝑥 # 0))
29	21, 28	sylan9bbr 458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 # 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝐴 # 0 ↔ 𝑥 # 0))
30	20, 29	sylbir 134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝐴 # 0 ↔ 𝑥 # 0))
31		simplll 522	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℤ)
32		zapne 9125	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝑥 # 0 ↔ 𝑥 ≠ 0))
33	31, 4, 32	sylancl 409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 # 0 ↔ 𝑥 ≠ 0))
34	30, 33	bitrd 187	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝐴 # 0 ↔ 𝑥 ≠ 0))
35		zmulcl 9107	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
36	15, 35	sylan2 284	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
37	36	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ)
38		msqznn 9151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ)
39	38	adantlr 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ)
40	37, 39	jca 304	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ≠ 0) → ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ))
41	40	adantlr 468	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝑥 ≠ 0) → ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ))
42	41	adantlr 468	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → ((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ))
43	20	anbi1i 453	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 # 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) ∧ 𝑥 # 0) ↔ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) ∧ 𝑥 # 0))
44	33	pm5.32i 449	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) ∧ 𝑥 # 0) ↔ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 0))
45	43, 44	bitri 183	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 # 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) ∧ 𝑥 # 0) ↔ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 0))
46		oveq2 5782	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (1 / 𝐴) = (1 / (𝑥 / 𝑦)))
47		dividap 8461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) → (𝑥 / 𝑥) = 1)
48	47	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0)) → (𝑥 / 𝑥) = 1)
49	48	oveq1d 5789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0)) → ((𝑥 / 𝑥) / (𝑥 / 𝑦)) = (1 / (𝑥 / 𝑦)))
50		simpll 518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0)) → 𝑥 ∈ ℂ)
51		simpl 108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0))
52		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0)) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0))
53		divdivdivap 8473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0)) ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0))) → ((𝑥 / 𝑥) / (𝑥 / 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥)))
54	50, 51, 51, 52, 53	syl22anc 1217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0)) → ((𝑥 / 𝑥) / (𝑥 / 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥)))
55	49, 54	eqtr3d 2174	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 # 0) ∧ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 # 0)) → (1 / (𝑥 / 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥)))
56	55	an4s 577	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑥 # 0 ∧ 𝑦 # 0)) → (1 / (𝑥 / 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥)))
57	24, 56	sylan 281	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 # 0 ∧ 𝑦 # 0)) → (1 / (𝑥 / 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥)))
58	57	anass1rs 560	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 # 0) ∧ 𝑥 # 0) → (1 / (𝑥 / 𝑦)) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥)))
59	46, 58	sylan9eqr 2194	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 # 0) ∧ 𝑥 # 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (1 / 𝐴) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥)))
60	59	an32s 557	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 # 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) ∧ 𝑥 # 0) → (1 / 𝐴) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥)))
61	45, 60	sylbir 134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (1 / 𝐴) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥)))
62	42, 61	jca 304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) ∧ 𝑥 ≠ 0) → (((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝐴) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥))))
63	62	ex 114	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝑥 ≠ 0 → (((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝐴) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥)))))
64	34, 63	sylbid 149	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)) → (𝐴 # 0 → (((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝐴) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥)))))
65	64	ex 114	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 # 0 → (((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝐴) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥))))))
66	65	anasss 396	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 # 0 → (((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝐴) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥))))))
67	14, 66	sylan2 284	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 # 0 → (((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝐴) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥))))))
68		rspceov 5813	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ ∧ (1 / 𝐴) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥))) → ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ (1 / 𝐴) = (𝑧 / 𝑤))
69	68	3expa 1181	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝐴) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥))) → ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ (1 / 𝐴) = (𝑧 / 𝑤))
70		elq 9414	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 𝐴) ∈ ℚ ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℕ (1 / 𝐴) = (𝑧 / 𝑤))
71	69, 70	sylibr 133	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ (𝑥 · 𝑥) ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝐴) = ((𝑥 · 𝑦) / (𝑥 · 𝑥))) → (1 / 𝐴) ∈ ℚ)
72	67, 71	syl8 71	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 # 0 → (1 / 𝐴) ∈ ℚ)))
73	72	rexlimivv 2555	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 # 0 → (1 / 𝐴) ∈ ℚ))
74	12, 73	sylbi 120	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 # 0 → (1 / 𝐴) ∈ ℚ))
75	74	imp 123	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 # 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℚ)
76	11, 75	syldan 280	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   ≠ wne 2308  ∃wrex 2417   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  ℂcc 7618  0cc0 7620  1c1 7621   · cmul 7625   # cap 8343   / cdiv 8432  ℕcn 8720  ℤcz 9054  ℚcq 9411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-q 9412

This theorem is referenced by:  qdivcl  9435  qexpclz  10314