Theorem rabn0r 3238

Description: Non-empty restricted class abstraction. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
rabn0r	⊢ (∃x ∈ A φ → {x ∈ A ∣ φ} ≠ ∅)

Proof of Theorem rabn0r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abn0r 3237	. 2 ⊢ (∃x(x ∈ A ∧ φ) → {x ∣ (x ∈ A ∧ φ)} ≠ ∅)
2		df-rex 2306	. 2 ⊢ (∃x ∈ A φ ↔ ∃x(x ∈ A ∧ φ))
3		df-rab 2309	. . 3 ⊢ {x ∈ A ∣ φ} = {x ∣ (x ∈ A ∧ φ)}
4	3	neeq1i 2215	. 2 ⊢ ({x ∈ A ∣ φ} ≠ ∅ ↔ {x ∣ (x ∈ A ∧ φ)} ≠ ∅)
5	1, 2, 4	3imtr4i 190	1 ⊢ (∃x ∈ A φ → {x ∈ A ∣ φ} ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97  ∃wex 1378   ∈ wcel 1390  {cab 2023   ≠ wne 2201  ∃wrex 2301  {crab 2304  ∅c0 3218

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-dif 2914  df-nul 3219

This theorem is referenced by: (None)