Theorem ralpr 3578

Description: Convert a quantification over a pair to a conjunction. (Contributed by NM, 3-Jun-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ralpr.1	⊢ 𝐴 ∈ V
ralpr.2	⊢ 𝐵 ∈ V
ralpr.3	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
ralpr.4	⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝜑 ↔ 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
ralpr	⊢ (∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝜑 ↔ (𝜓 ∧ 𝜒))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜓,𝑥   𝜒,𝑥

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem ralpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralpr.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		ralpr.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		ralpr.3	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4		ralpr.4	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝜑 ↔ 𝜒))
5	3, 4	ralprg 3574	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝜑 ↔ (𝜓 ∧ 𝜒)))
6	1, 2, 5	mp2an 422	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝜑 ↔ (𝜓 ∧ 𝜒))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∀wral 2416  Vcvv 2686  {cpr 3528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-sn 3533  df-pr 3534

This theorem is referenced by:  fzprval  9862