Theorem ralsng 3559

Description: Substitution expressed in terms of quantification over a singleton. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ralsng.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
ralsng	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∀𝑥 ∈ {𝐴}𝜑 ↔ 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem ralsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralsns 3557	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∀𝑥 ∈ {𝐴}𝜑 ↔ [𝐴 / 𝑥]𝜑))
2		ralsng.1	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
3	2	sbcieg 2936	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ([𝐴 / 𝑥]𝜑 ↔ 𝜓))
4	1, 3	bitrd 187	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∀𝑥 ∈ {𝐴}𝜑 ↔ 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∀wral 2414  [wsbc 2904  {csn 3522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-v 2683  df-sbc 2905  df-sn 3528

This theorem is referenced by:  ralsn  3562  ralprg  3569  raltpg  3571  ralunsn  3719  iinxsng  3881  posng  4606  fimax2gtrilemstep  6787  iseqf1olemqk  10260  seq3f1olemstep  10267  fimaxre2  10991  nninfsellemdc  13195