ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rdg0 GIF version

Theorem rdg0 6056
Description: The initial value of the recursive definition generator. (Contributed by NM, 23-Apr-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rdg.1 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
rdg0 (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = 𝐴

Proof of Theorem rdg0
Dummy variables 𝑥 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 3925 . . . . 5 ∅ ∈ V
2 dmeq 4583 . . . . . . . 8 (𝑔 = ∅ → dom 𝑔 = dom ∅)
3 fveq1 5228 . . . . . . . . 9 (𝑔 = ∅ → (𝑔𝑥) = (∅‘𝑥))
43fveq2d 5233 . . . . . . . 8 (𝑔 = ∅ → (𝐹‘(𝑔𝑥)) = (𝐹‘(∅‘𝑥)))
52, 4iuneq12d 3722 . . . . . . 7 (𝑔 = ∅ → 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)) = 𝑥 ∈ dom ∅(𝐹‘(∅‘𝑥)))
65uneq2d 3136 . . . . . 6 (𝑔 = ∅ → (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))) = (𝐴 𝑥 ∈ dom ∅(𝐹‘(∅‘𝑥))))
7 eqid 2083 . . . . . 6 (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)))) = (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))
8 rdg.1 . . . . . . 7 𝐴 ∈ V
9 dm0 4597 . . . . . . . . . 10 dom ∅ = ∅
10 iuneq1 3711 . . . . . . . . . 10 (dom ∅ = ∅ → 𝑥 ∈ dom ∅(𝐹‘(∅‘𝑥)) = 𝑥 ∈ ∅ (𝐹‘(∅‘𝑥)))
119, 10ax-mp 7 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ dom ∅(𝐹‘(∅‘𝑥)) = 𝑥 ∈ ∅ (𝐹‘(∅‘𝑥))
12 0iun 3755 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ ∅ (𝐹‘(∅‘𝑥)) = ∅
1311, 12eqtri 2103 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ dom ∅(𝐹‘(∅‘𝑥)) = ∅
1413, 1eqeltri 2155 . . . . . . 7 𝑥 ∈ dom ∅(𝐹‘(∅‘𝑥)) ∈ V
158, 14unex 4222 . . . . . 6 (𝐴 𝑥 ∈ dom ∅(𝐹‘(∅‘𝑥))) ∈ V
166, 7, 15fvmpt 5301 . . . . 5 (∅ ∈ V → ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))‘∅) = (𝐴 𝑥 ∈ dom ∅(𝐹‘(∅‘𝑥))))
171, 16ax-mp 7 . . . 4 ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))‘∅) = (𝐴 𝑥 ∈ dom ∅(𝐹‘(∅‘𝑥)))
1817, 15eqeltri 2155 . . 3 ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))‘∅) ∈ V
19 df-irdg 6039 . . . 4 rec(𝐹, 𝐴) = recs((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)))))
2019tfr0 5992 . . 3 (((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))‘∅) ∈ V → (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))‘∅))
2118, 20ax-mp 7 . 2 (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))‘∅)
2213uneq2i 3133 . . . 4 (𝐴 𝑥 ∈ dom ∅(𝐹‘(∅‘𝑥))) = (𝐴 ∪ ∅)
2317, 22eqtri 2103 . . 3 ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))‘∅) = (𝐴 ∪ ∅)
24 un0 3294 . . 3 (𝐴 ∪ ∅) = 𝐴
2523, 24eqtri 2103 . 2 ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))‘∅) = 𝐴
2621, 25eqtri 2103 1 (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = 𝐴
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1285  wcel 1434  Vcvv 2610  cun 2980  c0 3267   ciun 3698  cmpt 3859  dom cdm 4391  cfv 4952  reccrdg 6038
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-iord 4149  df-on 4151  df-suc 4154  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-res 4403  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-fv 4960  df-recs 5974  df-irdg 6039
This theorem is referenced by:  rdg0g  6057  om0  6122
  Copyright terms: Public domain W3C validator