ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rdgfun GIF version

Theorem rdgfun 5990
Description: The recursive definition generator is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
rdgfun Fun rec(𝐹, 𝐴)

Proof of Theorem rdgfun
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2056 . . 3 {𝑓 ∣ ∃𝑦 ∈ On (𝑓 Fn 𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑓𝑧) = ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))‘(𝑓𝑧)))} = {𝑓 ∣ ∃𝑦 ∈ On (𝑓 Fn 𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑓𝑧) = ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))‘(𝑓𝑧)))}
21tfrlem7 5963 . 2 Fun recs((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)))))
3 df-irdg 5987 . . 3 rec(𝐹, 𝐴) = recs((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)))))
43funeqi 4949 . 2 (Fun rec(𝐹, 𝐴) ↔ Fun recs((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))))
52, 4mpbir 138 1 Fun rec(𝐹, 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 101   = wceq 1259  {cab 2042  wral 2323  wrex 2324  Vcvv 2574  cun 2942   ciun 3684  cmpt 3845  Oncon0 4127  dom cdm 4372  cres 4374  Fun wfun 4923   Fn wfn 4924  cfv 4929  recscrecs 5949  reccrdg 5986
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-setind 4289
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-id 4057  df-iord 4130  df-on 4132  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-res 4384  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-fv 4937  df-recs 5950  df-irdg 5987
This theorem is referenced by:  rdgivallem  5998
  Copyright terms: Public domain W3C validator