ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rdgss GIF version

Theorem rdgss 6000
Description: Subset and recursive definition generator. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rdgss.1 (𝜑𝐹 Fn V)
rdgss.2 (𝜑𝐼𝑉)
rdgss.3 (𝜑𝐴 ∈ On)
rdgss.4 (𝜑𝐵 ∈ On)
rdgss.5 (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
rdgss (𝜑 → (rec(𝐹, 𝐼)‘𝐴) ⊆ (rec(𝐹, 𝐼)‘𝐵))

Proof of Theorem rdgss
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rdgss.5 . . . 4 (𝜑𝐴𝐵)
2 ssel 2966 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → (𝑥𝐴𝑥𝐵))
3 ssid 2991 . . . . . . 7 (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘𝑥)) ⊆ (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘𝑥))
4 fveq2 5205 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → (rec(𝐹, 𝐼)‘𝑦) = (rec(𝐹, 𝐼)‘𝑥))
54fveq2d 5209 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘𝑦)) = (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘𝑥)))
65sseq2d 3000 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → ((𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘𝑥)) ⊆ (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘𝑦)) ↔ (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘𝑥)) ⊆ (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘𝑥))))
76rspcev 2673 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵 ∧ (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘𝑥)) ⊆ (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘𝑥))) → ∃𝑦𝐵 (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘𝑥)) ⊆ (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘𝑦)))
83, 7mpan2 409 . . . . . 6 (𝑥𝐵 → ∃𝑦𝐵 (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘𝑥)) ⊆ (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘𝑦)))
92, 8syl6 33 . . . . 5 (𝐴𝐵 → (𝑥𝐴 → ∃𝑦𝐵 (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘𝑥)) ⊆ (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘𝑦))))
109ralrimiv 2408 . . . 4 (𝐴𝐵 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘𝑥)) ⊆ (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘𝑦)))
111, 10syl 14 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘𝑥)) ⊆ (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘𝑦)))
12 iunss2 3729 . . 3 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘𝑥)) ⊆ (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘𝑦)) → 𝑥𝐴 (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘𝑥)) ⊆ 𝑦𝐵 (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘𝑦)))
13 unss2 3141 . . 3 ( 𝑥𝐴 (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘𝑥)) ⊆ 𝑦𝐵 (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘𝑦)) → (𝐼 𝑥𝐴 (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘𝑥))) ⊆ (𝐼 𝑦𝐵 (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘𝑦))))
1411, 12, 133syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐼 𝑥𝐴 (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘𝑥))) ⊆ (𝐼 𝑦𝐵 (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘𝑦))))
15 rdgss.1 . . 3 (𝜑𝐹 Fn V)
16 rdgss.2 . . 3 (𝜑𝐼𝑉)
17 rdgss.3 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ On)
18 rdgival 5999 . . 3 ((𝐹 Fn V ∧ 𝐼𝑉𝐴 ∈ On) → (rec(𝐹, 𝐼)‘𝐴) = (𝐼 𝑥𝐴 (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘𝑥))))
1915, 16, 17, 18syl3anc 1146 . 2 (𝜑 → (rec(𝐹, 𝐼)‘𝐴) = (𝐼 𝑥𝐴 (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘𝑥))))
20 rdgss.4 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ On)
21 rdgival 5999 . . 3 ((𝐹 Fn V ∧ 𝐼𝑉𝐵 ∈ On) → (rec(𝐹, 𝐼)‘𝐵) = (𝐼 𝑦𝐵 (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘𝑦))))
2215, 16, 20, 21syl3anc 1146 . 2 (𝜑 → (rec(𝐹, 𝐼)‘𝐵) = (𝐼 𝑦𝐵 (𝐹‘(rec(𝐹, 𝐼)‘𝑦))))
2314, 19, 223sstr4d 3015 1 (𝜑 → (rec(𝐹, 𝐼)‘𝐴) ⊆ (rec(𝐹, 𝐼)‘𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1259  wcel 1409  wral 2323  wrex 2324  Vcvv 2574  cun 2942  wss 2944   ciun 3684  Oncon0 4127   Fn wfn 4924  cfv 4929  reccrdg 5986
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-id 4057  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-recs 5950  df-irdg 5987
This theorem is referenced by:  oawordi  6079
  Copyright terms: Public domain W3C validator