ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rdgtfr GIF version

Theorem rdgtfr 5989
Description: The recursion rule for the recursive definition generator is defined everywhere. (Contributed by Jim Kingdon, 14-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
rdgtfr ((∀𝑧(𝐹𝑧) ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (Fun (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)))) ∧ ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))‘𝑓) ∈ V))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝑥,𝑔,𝑧,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑧,𝑓)   𝐹(𝑓)   𝑉(𝑥,𝑧,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem rdgtfr
StepHypRef Expression
1 elex 2581 . 2 (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)
2 funmpt 4963 . . . 4 Fun (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))
3 vex 2575 . . . . 5 𝑓 ∈ V
4 vex 2575 . . . . . . . . . . 11 𝑔 ∈ V
54dmex 4623 . . . . . . . . . 10 dom 𝑔 ∈ V
6 vex 2575 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 ∈ V
74, 6fvex 5220 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔𝑥) ∈ V
8 fveq2 5203 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝑔𝑥) → (𝐹𝑧) = (𝐹‘(𝑔𝑥)))
98eleq1d 2120 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑔𝑥) → ((𝐹𝑧) ∈ V ↔ (𝐹‘(𝑔𝑥)) ∈ V))
107, 9spcv 2661 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑧(𝐹𝑧) ∈ V → (𝐹‘(𝑔𝑥)) ∈ V)
1110ralrimivw 2408 . . . . . . . . . 10 (∀𝑧(𝐹𝑧) ∈ V → ∀𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)) ∈ V)
12 iunexg 5771 . . . . . . . . . 10 ((dom 𝑔 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)) ∈ V) → 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)) ∈ V)
135, 11, 12sylancr 399 . . . . . . . . 9 (∀𝑧(𝐹𝑧) ∈ V → 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)) ∈ V)
14 unexg 4203 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)) ∈ V) → (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))) ∈ V)
1513, 14sylan2 274 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑧(𝐹𝑧) ∈ V) → (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))) ∈ V)
1615ancoms 259 . . . . . . 7 ((∀𝑧(𝐹𝑧) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))) ∈ V)
1716ralrimivw 2408 . . . . . 6 ((∀𝑧(𝐹𝑧) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ∀𝑔 ∈ V (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))) ∈ V)
18 dmmptg 4843 . . . . . 6 (∀𝑔 ∈ V (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))) ∈ V → dom (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)))) = V)
1917, 18syl 14 . . . . 5 ((∀𝑧(𝐹𝑧) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → dom (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)))) = V)
203, 19syl5eleqr 2141 . . . 4 ((∀𝑧(𝐹𝑧) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝑓 ∈ dom (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)))))
21 funfvex 5217 . . . 4 ((Fun (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)))) ∧ 𝑓 ∈ dom (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))) → ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))‘𝑓) ∈ V)
222, 20, 21sylancr 399 . . 3 ((∀𝑧(𝐹𝑧) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))‘𝑓) ∈ V)
2322, 2jctil 299 . 2 ((∀𝑧(𝐹𝑧) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (Fun (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)))) ∧ ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))‘𝑓) ∈ V))
241, 23sylan2 274 1 ((∀𝑧(𝐹𝑧) ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (Fun (𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥)))) ∧ ((𝑔 ∈ V ↦ (𝐴 𝑥 ∈ dom 𝑔(𝐹‘(𝑔𝑥))))‘𝑓) ∈ V))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wal 1255   = wceq 1257  wcel 1407  wral 2321  Vcvv 2572  cun 2940   ciun 3682  cmpt 3843  dom cdm 4370  Fun wfun 4921  cfv 4927
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 638  ax-5 1350  ax-7 1351  ax-gen 1352  ax-ie1 1396  ax-ie2 1397  ax-8 1409  ax-10 1410  ax-11 1411  ax-i12 1412  ax-bndl 1413  ax-4 1414  ax-13 1418  ax-14 1419  ax-17 1433  ax-i9 1437  ax-ial 1441  ax-i5r 1442  ax-ext 2036  ax-coll 3897  ax-sep 3900  ax-pow 3952  ax-pr 3969  ax-un 4195
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 896  df-tru 1260  df-nf 1364  df-sb 1660  df-eu 1917  df-mo 1918  df-clab 2041  df-cleq 2047  df-clel 2050  df-nfc 2181  df-ral 2326  df-rex 2327  df-reu 2328  df-rab 2330  df-v 2574  df-sbc 2785  df-csb 2878  df-un 2947  df-in 2949  df-ss 2956  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3606  df-iun 3684  df-br 3790  df-opab 3844  df-mpt 3845  df-id 4055  df-xp 4376  df-rel 4377  df-cnv 4378  df-co 4379  df-dm 4380  df-rn 4381  df-res 4382  df-ima 4383  df-iota 4892  df-fun 4929  df-fn 4930  df-f 4931  df-f1 4932  df-fo 4933  df-f1o 4934  df-fv 4935
This theorem is referenced by:  rdgifnon2  5995
  Copyright terms: Public domain W3C validator