ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recexprlemopu GIF version

Theorem recexprlemopu 7403
Description: The upper cut of 𝐵 is open. Lemma for recexpr 7414. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
recexpr.1 𝐵 = ⟨{𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ (*Q𝑦) ∈ (2nd𝐴))}, {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑦 <Q 𝑥 ∧ (*Q𝑦) ∈ (1st𝐴))}⟩
Assertion
Ref Expression
recexprlemopu ((𝐴P𝑟Q𝑟 ∈ (2nd𝐵)) → ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑟,𝑞,𝑥,𝑦,𝐴   𝐵,𝑞,𝑟,𝑥,𝑦

Proof of Theorem recexprlemopu
StepHypRef Expression
1 recexpr.1 . . . 4 𝐵 = ⟨{𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 <Q 𝑦 ∧ (*Q𝑦) ∈ (2nd𝐴))}, {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑦 <Q 𝑥 ∧ (*Q𝑦) ∈ (1st𝐴))}⟩
21recexprlemelu 7399 . . 3 (𝑟 ∈ (2nd𝐵) ↔ ∃𝑦(𝑦 <Q 𝑟 ∧ (*Q𝑦) ∈ (1st𝐴)))
3 ltbtwnnqq 7191 . . . . . 6 (𝑦 <Q 𝑟 ↔ ∃𝑞Q (𝑦 <Q 𝑞𝑞 <Q 𝑟))
43biimpi 119 . . . . 5 (𝑦 <Q 𝑟 → ∃𝑞Q (𝑦 <Q 𝑞𝑞 <Q 𝑟))
5 simplr 504 . . . . . . . 8 (((𝑦 <Q 𝑞𝑞 <Q 𝑟) ∧ (*Q𝑦) ∈ (1st𝐴)) → 𝑞 <Q 𝑟)
6 19.8a 1554 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 <Q 𝑞 ∧ (*Q𝑦) ∈ (1st𝐴)) → ∃𝑦(𝑦 <Q 𝑞 ∧ (*Q𝑦) ∈ (1st𝐴)))
71recexprlemelu 7399 . . . . . . . . . 10 (𝑞 ∈ (2nd𝐵) ↔ ∃𝑦(𝑦 <Q 𝑞 ∧ (*Q𝑦) ∈ (1st𝐴)))
86, 7sylibr 133 . . . . . . . . 9 ((𝑦 <Q 𝑞 ∧ (*Q𝑦) ∈ (1st𝐴)) → 𝑞 ∈ (2nd𝐵))
98adantlr 468 . . . . . . . 8 (((𝑦 <Q 𝑞𝑞 <Q 𝑟) ∧ (*Q𝑦) ∈ (1st𝐴)) → 𝑞 ∈ (2nd𝐵))
105, 9jca 304 . . . . . . 7 (((𝑦 <Q 𝑞𝑞 <Q 𝑟) ∧ (*Q𝑦) ∈ (1st𝐴)) → (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵)))
1110expcom 115 . . . . . 6 ((*Q𝑦) ∈ (1st𝐴) → ((𝑦 <Q 𝑞𝑞 <Q 𝑟) → (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵))))
1211reximdv 2510 . . . . 5 ((*Q𝑦) ∈ (1st𝐴) → (∃𝑞Q (𝑦 <Q 𝑞𝑞 <Q 𝑟) → ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵))))
134, 12mpan9 279 . . . 4 ((𝑦 <Q 𝑟 ∧ (*Q𝑦) ∈ (1st𝐴)) → ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵)))
1413exlimiv 1562 . . 3 (∃𝑦(𝑦 <Q 𝑟 ∧ (*Q𝑦) ∈ (1st𝐴)) → ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵)))
152, 14sylbi 120 . 2 (𝑟 ∈ (2nd𝐵) → ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵)))
16153ad2ant3 989 1 ((𝐴P𝑟Q𝑟 ∈ (2nd𝐵)) → ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞 ∈ (2nd𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  w3a 947   = wceq 1316  wex 1453  wcel 1465  {cab 2103  wrex 2394  cop 3500   class class class wbr 3899  cfv 5093  1st c1st 6004  2nd c2nd 6005  Qcnq 7056  *Qcrq 7060   <Q cltq 7061  Pcnp 7067
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-eprel 4181  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-irdg 6235  df-1o 6281  df-oadd 6285  df-omul 6286  df-er 6397  df-ec 6399  df-qs 6403  df-ni 7080  df-pli 7081  df-mi 7082  df-lti 7083  df-plpq 7120  df-mpq 7121  df-enq 7123  df-nqqs 7124  df-plqqs 7125  df-mqqs 7126  df-1nqqs 7127  df-rq 7128  df-ltnqqs 7129
This theorem is referenced by:  recexprlemrnd  7405
  Copyright terms: Public domain W3C validator