Theorem recmulnqg 6375

Description: Relationship between reciprocal and multiplication on positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
recmulnqg	⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → ((*Q‘A) = B ↔ (A ·Q B) = 1Q))

Proof of Theorem recmulnqg

Dummy variables x y z w v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5462	. . . . 5 ⊢ (x = A → (x ·Q y) = (A ·Q y))
2	1	eqeq1d 2045	. . . 4 ⊢ (x = A → ((x ·Q y) = 1Q ↔ (A ·Q y) = 1Q))
3	2	anbi2d 437	. . 3 ⊢ (x = A → ((y ∈ Q ∧ (x ·Q y) = 1Q) ↔ (y ∈ Q ∧ (A ·Q y) = 1Q)))
4		eleq1 2097	. . . 4 ⊢ (y = B → (y ∈ Q ↔ B ∈ Q))
5		oveq2 5463	. . . . 5 ⊢ (y = B → (A ·Q y) = (A ·Q B))
6	5	eqeq1d 2045	. . . 4 ⊢ (y = B → ((A ·Q y) = 1Q ↔ (A ·Q B) = 1Q))
7	4, 6	anbi12d 442	. . 3 ⊢ (y = B → ((y ∈ Q ∧ (A ·Q y) = 1Q) ↔ (B ∈ Q ∧ (A ·Q B) = 1Q)))
8		recexnq 6374	. . . 4 ⊢ (x ∈ Q → ∃y(y ∈ Q ∧ (x ·Q y) = 1Q))
9		1nq 6350	. . . . 5 ⊢ 1Q ∈ Q
10		mulcomnqg 6367	. . . . 5 ⊢ ((z ∈ Q ∧ w ∈ Q) → (z ·Q w) = (w ·Q z))
11		mulassnqg 6368	. . . . 5 ⊢ ((z ∈ Q ∧ w ∈ Q ∧ v ∈ Q) → ((z ·Q w) ·Q v) = (z ·Q (w ·Q v)))
12		mulidnq 6373	. . . . 5 ⊢ (z ∈ Q → (z ·Q 1Q) = z)
13	9, 10, 11, 12	caovimo 5636	. . . 4 ⊢ (x ∈ Q → ∃*y(y ∈ Q ∧ (x ·Q y) = 1Q))
14		eu5 1944	. . . 4 ⊢ (∃!y(y ∈ Q ∧ (x ·Q y) = 1Q) ↔ (∃y(y ∈ Q ∧ (x ·Q y) = 1Q) ∧ ∃*y(y ∈ Q ∧ (x ·Q y) = 1Q)))
15	8, 13, 14	sylanbrc 394	. . 3 ⊢ (x ∈ Q → ∃!y(y ∈ Q ∧ (x ·Q y) = 1Q))
16		df-rq 6336	. . . 4 ⊢ *Q = {⟨x, y⟩ ∣ (x ∈ Q ∧ y ∈ Q ∧ (x ·Q y) = 1Q)}
17		3anass 888	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ Q ∧ y ∈ Q ∧ (x ·Q y) = 1Q) ↔ (x ∈ Q ∧ (y ∈ Q ∧ (x ·Q y) = 1Q)))
18	17	opabbii 3815	. . . 4 ⊢ {⟨x, y⟩ ∣ (x ∈ Q ∧ y ∈ Q ∧ (x ·Q y) = 1Q)} = {⟨x, y⟩ ∣ (x ∈ Q ∧ (y ∈ Q ∧ (x ·Q y) = 1Q))}
19	16, 18	eqtri 2057	. . 3 ⊢ *Q = {⟨x, y⟩ ∣ (x ∈ Q ∧ (y ∈ Q ∧ (x ·Q y) = 1Q))}
20	3, 7, 15, 19	fvopab3g 5188	. 2 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → ((*Q‘A) = B ↔ (B ∈ Q ∧ (A ·Q B) = 1Q)))
21		ibar 285	. . 3 ⊢ (B ∈ Q → ((A ·Q B) = 1Q ↔ (B ∈ Q ∧ (A ·Q B) = 1Q)))
22	21	adantl 262	. 2 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → ((A ·Q B) = 1Q ↔ (B ∈ Q ∧ (A ·Q B) = 1Q)))
23	20, 22	bitr4d 180	1 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → ((*Q‘A) = B ↔ (A ·Q B) = 1Q))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 884   = wceq 1242  ∃wex 1378   ∈ wcel 1390  ∃!weu 1897  ∃*wmo 1898  {copab 3808  ‘cfv 4845  (class class class)co 5455  Qcnq 6264  1_Qc1q 6265   ·_Q cmq 6267  *_Qcrq 6268

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-mi 6290  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336

This theorem is referenced by:  recclnq  6376  recidnq  6377  recrecnq  6378  recexprlem1ssl  6605  recexprlem1ssu  6606