ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recnnpr GIF version

Theorem recnnpr 6704
Description: The reciprocal of a positive integer, as a positive real. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Feb-2021.)
Assertion
Ref Expression
recnnpr (𝐴N → ⟨{𝑙𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ ∈ P)
Distinct variable group:   𝐴,𝑙,𝑢

Proof of Theorem recnnpr
StepHypRef Expression
1 nnnq 6578 . 2 (𝐴N → [⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~QQ)
2 recclnq 6548 . 2 ([⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~QQ → (*Q‘[⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~Q ) ∈ Q)
3 nqprlu 6703 . 2 ((*Q‘[⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~Q ) ∈ Q → ⟨{𝑙𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ ∈ P)
41, 2, 33syl 17 1 (𝐴N → ⟨{𝑙𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ ∈ P)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1409  {cab 2042  cop 3406   class class class wbr 3792  cfv 4930  1𝑜c1o 6025  [cec 6135  Ncnpi 6428   ~Q ceq 6435  Qcnq 6436  *Qcrq 6440   <Q cltq 6441  Pcnp 6447
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-inp 6622
This theorem is referenced by:  caucvgprprlemnkltj  6845  caucvgprprlemnbj  6849  caucvgprprlemopu  6855  caucvgprprlemexbt  6862  caucvgprprlemexb  6863  caucvgprprlemaddq  6864  caucvgsrlemcau  6935  caucvgsrlemoffcau  6940  recnnre  6985  recidpirq  6992  axcaucvglemcau  7030
  Copyright terms: Public domain W3C validator