Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recp1lt1 GIF version

Theorem recp1lt1 8096
 Description: Construct a number less than 1 from any nonnegative number. (Contributed by NM, 30-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
recp1lt1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 / (1 + 𝐴)) < 1)

Proof of Theorem recp1lt1
StepHypRef Expression
1 simpl 107 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
2 ltp1 8041 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))
31, 2syl 14 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 < (𝐴 + 1))
41recnd 7261 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
5 1cnd 7249 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 1 ∈ ℂ)
64, 5addcomd 7378 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 + 1) = (1 + 𝐴))
73, 6breqtrd 3829 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 < (1 + 𝐴))
85, 4addcld 7252 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (1 + 𝐴) ∈ ℂ)
9 1red 7248 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
109, 1readdcld 7262 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (1 + 𝐴) ∈ ℝ)
11 1re 7232 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
12 0lt1 7355 . . . . . . 7 0 < 1
13 addgtge0 7673 . . . . . . 7 (((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (0 < 1 ∧ 0 ≤ 𝐴)) → 0 < (1 + 𝐴))
1412, 13mpanr1 428 . . . . . 6 (((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 < (1 + 𝐴))
1511, 14mpanl1 425 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 < (1 + 𝐴))
1610, 15gt0ap0d 7847 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (1 + 𝐴) # 0)
174, 8, 16divcanap1d 7997 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((𝐴 / (1 + 𝐴)) · (1 + 𝐴)) = 𝐴)
188mulid2d 7251 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (1 · (1 + 𝐴)) = (1 + 𝐴))
197, 17, 183brtr4d 3835 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((𝐴 / (1 + 𝐴)) · (1 + 𝐴)) < (1 · (1 + 𝐴)))
201, 10, 16redivclapd 8039 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 / (1 + 𝐴)) ∈ ℝ)
21 ltmul1 7811 . . 3 (((𝐴 / (1 + 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((1 + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 + 𝐴))) → ((𝐴 / (1 + 𝐴)) < 1 ↔ ((𝐴 / (1 + 𝐴)) · (1 + 𝐴)) < (1 · (1 + 𝐴))))
2220, 9, 10, 15, 21syl112anc 1174 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((𝐴 / (1 + 𝐴)) < 1 ↔ ((𝐴 / (1 + 𝐴)) · (1 + 𝐴)) < (1 · (1 + 𝐴))))
2319, 22mpbird 165 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 / (1 + 𝐴)) < 1)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∈ wcel 1434   class class class wbr 3805  (class class class)co 5563  ℝcr 7094  0cc0 7095  1c1 7096   + caddc 7098   · cmul 7100   < clt 7267   ≤ cle 7268   / cdiv 7879 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-mulrcl 7189  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-precex 7200  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206  ax-pre-mulgt0 7207  ax-pre-mulext 7208 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-br 3806  df-opab 3860  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-reap 7794  df-ap 7801  df-div 7880 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator