ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recrecap GIF version

Theorem recrecap 7661
Description: A number is equal to the reciprocal of its reciprocal. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
recrecap ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (1 / (1 / 𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem recrecap
StepHypRef Expression
1 recidap2 7642 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → ((1 / 𝐴) · 𝐴) = 1)
2 1cnd 7024 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → 1 ∈ ℂ)
3 simpl 102 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
4 recclap 7634 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
5 recap0 7640 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (1 / 𝐴) # 0)
6 divmulap 7630 . . 3 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ ((1 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (1 / 𝐴) # 0)) → ((1 / (1 / 𝐴)) = 𝐴 ↔ ((1 / 𝐴) · 𝐴) = 1))
72, 3, 4, 5, 6syl112anc 1139 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → ((1 / (1 / 𝐴)) = 𝐴 ↔ ((1 / 𝐴) · 𝐴) = 1))
81, 7mpbird 156 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (1 / (1 / 𝐴)) = 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97  wb 98   = wceq 1243  wcel 1393   class class class wbr 3761  (class class class)co 5499  cc 6868  0cc0 6870  1c1 6871   · cmul 6875   # cap 7548   / cdiv 7627
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3869  ax-sep 3872  ax-nul 3880  ax-pow 3924  ax-pr 3941  ax-un 4166  ax-setind 4256  ax-iinf 4298  ax-cnex 6956  ax-resscn 6957  ax-1cn 6958  ax-1re 6959  ax-icn 6960  ax-addcl 6961  ax-addrcl 6962  ax-mulcl 6963  ax-mulrcl 6964  ax-addcom 6965  ax-mulcom 6966  ax-addass 6967  ax-mulass 6968  ax-distr 6969  ax-i2m1 6970  ax-1rid 6972  ax-0id 6973  ax-rnegex 6974  ax-precex 6975  ax-cnre 6976  ax-pre-ltirr 6977  ax-pre-ltwlin 6978  ax-pre-lttrn 6979  ax-pre-apti 6980  ax-pre-ltadd 6981  ax-pre-mulgt0 6982  ax-pre-mulext 6983
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2308  df-rex 2309  df-reu 2310  df-rmo 2311  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-csb 2850  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-nul 3222  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-uni 3578  df-int 3613  df-iun 3656  df-br 3762  df-opab 3816  df-mpt 3817  df-tr 3852  df-eprel 4023  df-id 4027  df-po 4030  df-iso 4031  df-iord 4099  df-on 4101  df-suc 4104  df-iom 4301  df-xp 4338  df-rel 4339  df-cnv 4340  df-co 4341  df-dm 4342  df-rn 4343  df-res 4344  df-ima 4345  df-iota 4854  df-fun 4891  df-fn 4892  df-f 4893  df-f1 4894  df-fo 4895  df-f1o 4896  df-fv 4897  df-riota 5455  df-ov 5502  df-oprab 5503  df-mpt2 5504  df-1st 5754  df-2nd 5755  df-recs 5907  df-irdg 5944  df-1o 5988  df-2o 5989  df-oadd 5992  df-omul 5993  df-er 6093  df-ec 6095  df-qs 6099  df-ni 6383  df-pli 6384  df-mi 6385  df-lti 6386  df-plpq 6423  df-mpq 6424  df-enq 6426  df-nqqs 6427  df-plqqs 6428  df-mqqs 6429  df-1nqqs 6430  df-rq 6431  df-ltnqqs 6432  df-enq0 6503  df-nq0 6504  df-0nq0 6505  df-plq0 6506  df-mq0 6507  df-inp 6545  df-i1p 6546  df-iplp 6547  df-iltp 6549  df-enr 6792  df-nr 6793  df-ltr 6796  df-0r 6797  df-1r 6798  df-0 6877  df-1 6878  df-r 6880  df-lt 6883  df-pnf 7042  df-mnf 7043  df-xr 7044  df-ltxr 7045  df-le 7046  df-sub 7164  df-neg 7165  df-reap 7542  df-ap 7549  df-div 7628
This theorem is referenced by:  recrecapi  7696  recrecapd  7737
  Copyright terms: Public domain W3C validator