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Theorem rereceu 7203
Description: The reciprocal from axprecex 7194 is unique. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
rereceu ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem rereceu
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axprecex 7194 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1))
2 simpr 108 . . . 4 ((0 < 𝑥 ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1) → (𝐴 · 𝑥) = 1)
32reximi 2464 . . 3 (∃𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 ∧ (𝐴 · 𝑥) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
41, 3syl 14 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
5 eqtr3 2102 . . . . 5 (((𝐴 · 𝑥) = 1 ∧ (𝐴 · 𝑦) = 1) → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦))
6 axprecex 7194 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ∃𝑧 ∈ ℝ (0 < 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))
76adantr 270 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ∃𝑧 ∈ ℝ (0 < 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))
8 axresscn 7176 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℂ
9 simpll 496 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
108, 9sseldi 3007 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
11 simprl 498 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
128, 11sseldi 3007 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
13 axmulcom 7185 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑥) = (𝑥 · 𝐴))
1410, 12, 13syl2anc 403 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝐴 · 𝑥) = (𝑥 · 𝐴))
15 simprr 499 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
168, 15sseldi 3007 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
17 axmulcom 7185 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝑦) = (𝑦 · 𝐴))
1810, 16, 17syl2anc 403 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝐴 · 𝑦) = (𝑦 · 𝐴))
1914, 18eqeq12d 2097 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦) ↔ (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴)))
2019adantr 270 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))) → ((𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦) ↔ (𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴)))
21 oveq1 5576 . . . . . . . . 9 ((𝑥 · 𝐴) = (𝑦 · 𝐴) → ((𝑥 · 𝐴) · 𝑧) = ((𝑦 · 𝐴) · 𝑧))
2220, 21syl6bi 161 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))) → ((𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦) → ((𝑥 · 𝐴) · 𝑧) = ((𝑦 · 𝐴) · 𝑧)))
2312adantr 270 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))) → 𝑥 ∈ ℂ)
2410adantr 270 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
25 simprl 498 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))) → 𝑧 ∈ ℝ)
268, 25sseldi 3007 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))) → 𝑧 ∈ ℂ)
27 axmulass 7187 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝐴) · 𝑧) = (𝑥 · (𝐴 · 𝑧)))
2823, 24, 26, 27syl3anc 1170 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))) → ((𝑥 · 𝐴) · 𝑧) = (𝑥 · (𝐴 · 𝑧)))
2916adantr 270 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))) → 𝑦 ∈ ℂ)
30 axmulass 7187 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑦 · 𝐴) · 𝑧) = (𝑦 · (𝐴 · 𝑧)))
3129, 24, 26, 30syl3anc 1170 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))) → ((𝑦 · 𝐴) · 𝑧) = (𝑦 · (𝐴 · 𝑧)))
3228, 31eqeq12d 2097 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))) → (((𝑥 · 𝐴) · 𝑧) = ((𝑦 · 𝐴) · 𝑧) ↔ (𝑥 · (𝐴 · 𝑧)) = (𝑦 · (𝐴 · 𝑧))))
3322, 32sylibd 147 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))) → ((𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦) → (𝑥 · (𝐴 · 𝑧)) = (𝑦 · (𝐴 · 𝑧))))
34 oveq2 5577 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 · 𝑧) = 1 → (𝑥 · (𝐴 · 𝑧)) = (𝑥 · 1))
3534ad2antll 475 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1)) → (𝑥 · (𝐴 · 𝑧)) = (𝑥 · 1))
36 ax1rid 7191 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 · 1) = 𝑥)
3711, 36syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 1) = 𝑥)
3835, 37sylan9eqr 2137 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))) → (𝑥 · (𝐴 · 𝑧)) = 𝑥)
39 oveq2 5577 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 · 𝑧) = 1 → (𝑦 · (𝐴 · 𝑧)) = (𝑦 · 1))
4039ad2antll 475 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1)) → (𝑦 · (𝐴 · 𝑧)) = (𝑦 · 1))
41 ax1rid 7191 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 · 1) = 𝑦)
4241ad2antll 475 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑦 · 1) = 𝑦)
4340, 42sylan9eqr 2137 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))) → (𝑦 · (𝐴 · 𝑧)) = 𝑦)
4438, 43eqeq12d 2097 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))) → ((𝑥 · (𝐴 · 𝑧)) = (𝑦 · (𝐴 · 𝑧)) ↔ 𝑥 = 𝑦))
4533, 44sylibd 147 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (0 < 𝑧 ∧ (𝐴 · 𝑧) = 1))) → ((𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
467, 45rexlimddv 2487 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
475, 46syl5 32 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (((𝐴 · 𝑥) = 1 ∧ (𝐴 · 𝑦) = 1) → 𝑥 = 𝑦))
4847ralrimivva 2449 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (((𝐴 · 𝑥) = 1 ∧ (𝐴 · 𝑦) = 1) → 𝑥 = 𝑦))
49 oveq2 5577 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦))
5049eqeq1d 2091 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 · 𝑥) = 1 ↔ (𝐴 · 𝑦) = 1))
5150rmo4 2795 . . 3 (∃*𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (((𝐴 · 𝑥) = 1 ∧ (𝐴 · 𝑦) = 1) → 𝑥 = 𝑦))
5248, 51sylibr 132 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ∃*𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
53 reu5 2572 . 2 (∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1 ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1 ∧ ∃*𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1))
544, 52, 53sylanbrc 408 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝐴 · 𝑥) = 1)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1285  wcel 1434  wral 2353  wrex 2354  ∃!wreu 2355  ∃*wrmo 2356   class class class wbr 3806  (class class class)co 5569  cc 7127  cr 7128  0cc0 7129  1c1 7130   < cltrr 7133   · cmul 7134
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3914  ax-sep 3917  ax-nul 3925  ax-pow 3969  ax-pr 3994  ax-un 4218  ax-setind 4310  ax-iinf 4360
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2613  df-sbc 2826  df-csb 2919  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-nul 3269  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-int 3658  df-iun 3701  df-br 3807  df-opab 3861  df-mpt 3862  df-tr 3897  df-eprel 4074  df-id 4078  df-po 4081  df-iso 4082  df-iord 4151  df-on 4153  df-suc 4156  df-iom 4363  df-xp 4400  df-rel 4401  df-cnv 4402  df-co 4403  df-dm 4404  df-rn 4405  df-res 4406  df-ima 4407  df-iota 4920  df-fun 4957  df-fn 4958  df-f 4959  df-f1 4960  df-fo 4961  df-f1o 4962  df-fv 4963  df-ov 5572  df-oprab 5573  df-mpt2 5574  df-1st 5824  df-2nd 5825  df-recs 5980  df-irdg 6045  df-1o 6091  df-2o 6092  df-oadd 6095  df-omul 6096  df-er 6200  df-ec 6202  df-qs 6206  df-ni 6642  df-pli 6643  df-mi 6644  df-lti 6645  df-plpq 6682  df-mpq 6683  df-enq 6685  df-nqqs 6686  df-plqqs 6687  df-mqqs 6688  df-1nqqs 6689  df-rq 6690  df-ltnqqs 6691  df-enq0 6762  df-nq0 6763  df-0nq0 6764  df-plq0 6765  df-mq0 6766  df-inp 6804  df-i1p 6805  df-iplp 6806  df-imp 6807  df-iltp 6808  df-enr 7051  df-nr 7052  df-plr 7053  df-mr 7054  df-ltr 7055  df-0r 7056  df-1r 7057  df-m1r 7058  df-c 7135  df-0 7136  df-1 7137  df-r 7139  df-mul 7141  df-lt 7142
This theorem is referenced by:  recriota  7204
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