ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlem1arp GIF version

Theorem resqrexlem1arp 9832
Description: Lemma for resqrex 9853. 1 + 𝐴 is a positive real (expressed in a way that will help apply iseqf 9388 and similar theorems). (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}), ℝ+)
resqrexlemex.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
resqrexlem1arp ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘𝑁) ∈ ℝ+)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlem1arp
StepHypRef Expression
1 1red 7100 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
2 resqrexlemex.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
32adantr 265 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
41, 3readdcld 7114 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (1 + 𝐴) ∈ ℝ)
5 0lt1 7202 . . . . . 6 0 < 1
65a1i 9 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 1)
7 resqrexlemex.agt0 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
87adantr 265 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
9 addgtge0 7519 . . . . 5 (((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (0 < 1 ∧ 0 ≤ 𝐴)) → 0 < (1 + 𝐴))
101, 3, 6, 8, 9syl22anc 1147 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 0 < (1 + 𝐴))
114, 10elrpd 8718 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (1 + 𝐴) ∈ ℝ+)
12 fvconst2g 5403 . . 3 (((1 + 𝐴) ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘𝑁) = (1 + 𝐴))
1311, 12sylancom 405 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘𝑁) = (1 + 𝐴))
1413, 11eqeltrd 2130 1 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘𝑁) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101   = wceq 1259  wcel 1409  {csn 3403   class class class wbr 3792   × cxp 4371  cfv 4930  (class class class)co 5540  cmpt2 5542  cr 6946  0cc0 6947  1c1 6948   + caddc 6950   < clt 7119  cle 7120   / cdiv 7725  cn 7990  2c2 8040  +crp 8681  seqcseq 9375
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-addcom 7042  ax-addass 7044  ax-i2m1 7047  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-ltadd 7058
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-rp 8682
This theorem is referenced by:  resqrexlemf  9834  resqrexlemf1  9835  resqrexlemfp1  9836
  Copyright terms: Public domain W3C validator