ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlem1arp GIF version

Theorem resqrexlem1arp 10745
Description: Lemma for resqrex 10766. 1 + 𝐴 is a positive real (expressed in a way that will help apply seqf 10202 and similar theorems). (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jul-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 16-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlem1arp.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlem1arp.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
resqrexlem1arp ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘𝑁) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem resqrexlem1arp
StepHypRef Expression
1 1red 7749 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
2 resqrexlem1arp.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
32adantr 274 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
41, 3readdcld 7763 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (1 + 𝐴) ∈ ℝ)
5 0lt1 7857 . . . . . 6 0 < 1
65a1i 9 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 1)
7 resqrexlem1arp.agt0 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
87adantr 274 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐴)
9 addgtge0 8180 . . . . 5 (((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (0 < 1 ∧ 0 ≤ 𝐴)) → 0 < (1 + 𝐴))
101, 3, 6, 8, 9syl22anc 1202 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 0 < (1 + 𝐴))
114, 10elrpd 9449 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (1 + 𝐴) ∈ ℝ+)
12 fvconst2g 5602 . . 3 (((1 + 𝐴) ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘𝑁) = (1 + 𝐴))
1311, 12sylancom 416 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘𝑁) = (1 + 𝐴))
1413, 11eqeltrd 2194 1 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘𝑁) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1316  wcel 1465  {csn 3497   class class class wbr 3899   × cxp 4507  cfv 5093  (class class class)co 5742  cr 7587  0cc0 7588  1c1 7589   + caddc 7591   < clt 7768  cle 7769  cn 8688  +crp 9409
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fv 5101  df-ov 5745  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-rp 9410
This theorem is referenced by:  resqrexlemf  10747  resqrexlemf1  10748  resqrexlemfp1  10749
  Copyright terms: Public domain W3C validator