Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlemdec GIF version

Theorem resqrexlemdec 10024
 Description: Lemma for resqrex 10039. The sequence is decreasing. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}), ℝ+)
resqrexlemex.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
resqrexlemdec ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑁 + 1)) < (𝐹𝑁))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemdec
StepHypRef Expression
1 resqrexlemex.seq . . 3 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}), ℝ+)
2 resqrexlemex.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 resqrexlemex.agt0 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
41, 2, 3resqrexlemfp1 10022 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑁 + 1)) = (((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁))) / 2))
52adantr 270 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
61, 2, 3resqrexlemf 10020 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ+)
76ffvelrnda 5328 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) ∈ ℝ+)
85, 7rerpdivcld 8875 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝐹𝑁)) ∈ ℝ)
97rpred 8843 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
101, 2, 3resqrexlemover 10023 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 < ((𝐹𝑁)↑2))
117rpcnd 8845 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) ∈ ℂ)
1211sqvald 9688 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁)↑2) = ((𝐹𝑁) · (𝐹𝑁)))
1310, 12breqtrd 3811 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 < ((𝐹𝑁) · (𝐹𝑁)))
145, 9, 7ltdivmuld 8895 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 / (𝐹𝑁)) < (𝐹𝑁) ↔ 𝐴 < ((𝐹𝑁) · (𝐹𝑁))))
1513, 14mpbird 165 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝐹𝑁)) < (𝐹𝑁))
168, 9, 9, 15ltadd2dd 7582 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁))) < ((𝐹𝑁) + (𝐹𝑁)))
17112timesd 8329 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (2 · (𝐹𝑁)) = ((𝐹𝑁) + (𝐹𝑁)))
1816, 17breqtrrd 3813 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁))) < (2 · (𝐹𝑁)))
199, 8readdcld 7199 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁))) ∈ ℝ)
20 2rp 8809 . . . . 5 2 ∈ ℝ+
2120a1i 9 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ+)
2219, 9, 21ltdivmuld 8895 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁))) / 2) < (𝐹𝑁) ↔ ((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁))) < (2 · (𝐹𝑁))))
2318, 22mpbird 165 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁))) / 2) < (𝐹𝑁))
244, 23eqbrtrd 3807 1 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑁 + 1)) < (𝐹𝑁))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   = wceq 1285   ∈ wcel 1434  {csn 3400   class class class wbr 3787   × cxp 4363  ‘cfv 4926  (class class class)co 5537   ↦ cmpt2 5539  ℝcr 7031  0cc0 7032  1c1 7033   + caddc 7035   · cmul 7037   < clt 7204   ≤ cle 7205   / cdiv 7816  ℕcn 8095  2c2 8145  ℝ+crp 8804  seqcseq 9510  ↑cexp 9561 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3895  ax-sep 3898  ax-nul 3906  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-iinf 4331  ax-cnex 7118  ax-resscn 7119  ax-1cn 7120  ax-1re 7121  ax-icn 7122  ax-addcl 7123  ax-addrcl 7124  ax-mulcl 7125  ax-mulrcl 7126  ax-addcom 7127  ax-mulcom 7128  ax-addass 7129  ax-mulass 7130  ax-distr 7131  ax-i2m1 7132  ax-0lt1 7133  ax-1rid 7134  ax-0id 7135  ax-rnegex 7136  ax-precex 7137  ax-cnre 7138  ax-pre-ltirr 7139  ax-pre-ltwlin 7140  ax-pre-lttrn 7141  ax-pre-apti 7142  ax-pre-ltadd 7143  ax-pre-mulgt0 7144  ax-pre-mulext 7145 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3253  df-if 3354  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-int 3639  df-iun 3682  df-br 3788  df-opab 3842  df-mpt 3843  df-tr 3878  df-id 4050  df-po 4053  df-iso 4054  df-iord 4123  df-on 4125  df-ilim 4126  df-suc 4128  df-iom 4334  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-res 4377  df-ima 4378  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930  df-f1 4931  df-fo 4932  df-f1o 4933  df-fv 4934  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-recs 5948  df-frec 6034  df-pnf 7206  df-mnf 7207  df-xr 7208  df-ltxr 7209  df-le 7210  df-sub 7337  df-neg 7338  df-reap 7731  df-ap 7738  df-div 7817  df-inn 8096  df-2 8154  df-3 8155  df-4 8156  df-n0 8345  df-z 8422  df-uz 8690  df-rp 8805  df-iseq 9511  df-iexp 9562 This theorem is referenced by:  resqrexlemdecn  10025
 Copyright terms: Public domain W3C validator