Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlemf1 GIF version

Theorem resqrexlemf1 9835
 Description: Lemma for resqrex 9853. Initial value. Although this sequence converges to the square root with any positive initial value, this choice makes various steps in the proof of convergence easier. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}), ℝ+)
resqrexlemex.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
resqrexlemf1 (𝜑 → (𝐹‘1) = (1 + 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemf1
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resqrexlemex.seq . . . 4 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}), ℝ+)
21fveq1i 5207 . . 3 (𝐹‘1) = (seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}), ℝ+)‘1)
3 1zzd 8329 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
4 reex 7073 . . . . . 6 ℝ ∈ V
5 rpssre 8691 . . . . . 6 + ⊆ ℝ
64, 5ssexi 3923 . . . . 5 + ∈ V
76a1i 9 . . . 4 (𝜑 → ℝ+ ∈ V)
8 elnnuz 8605 . . . . 5 (𝑎 ∈ ℕ ↔ 𝑎 ∈ (ℤ‘1))
9 resqrexlemex.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
10 resqrexlemex.agt0 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
111, 9, 10resqrexlem1arp 9832 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘𝑎) ∈ ℝ+)
128, 11sylan2br 276 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ‘1)) → ((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘𝑎) ∈ ℝ+)
131, 9, 10resqrexlemp1rp 9833 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) → (𝑎(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2))𝑏) ∈ ℝ+)
143, 7, 12, 13iseq1 9386 . . 3 (𝜑 → (seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}), ℝ+)‘1) = ((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘1))
152, 14syl5eq 2100 . 2 (𝜑 → (𝐹‘1) = ((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘1))
16 1red 7100 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
1716, 9readdcld 7114 . . 3 (𝜑 → (1 + 𝐴) ∈ ℝ)
18 1nn 8001 . . 3 1 ∈ ℕ
19 fvconst2g 5403 . . 3 (((1 + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘1) = (1 + 𝐴))
2017, 18, 19sylancl 398 . 2 (𝜑 → ((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘1) = (1 + 𝐴))
2115, 20eqtrd 2088 1 (𝜑 → (𝐹‘1) = (1 + 𝐴))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1259   ∈ wcel 1409  Vcvv 2574  {csn 3403   class class class wbr 3792   × cxp 4371  ‘cfv 4930  (class class class)co 5540   ↦ cmpt2 5542  ℝcr 6946  0cc0 6947  1c1 6948   + caddc 6950   ≤ cle 7120   / cdiv 7725  ℕcn 7990  2c2 8040  ℤ≥cuz 8569  ℝ+crp 8681  seqcseq 9375 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-mulrcl 7041  ax-addcom 7042  ax-mulcom 7043  ax-addass 7044  ax-mulass 7045  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-1rid 7049  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-precex 7052  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-apti 7057  ax-pre-ltadd 7058  ax-pre-mulgt0 7059  ax-pre-mulext 7060 This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-frec 6009  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-reap 7640  df-ap 7647  df-div 7726  df-inn 7991  df-2 8049  df-n0 8240  df-z 8303  df-uz 8570  df-rp 8682  df-iseq 9376 This theorem is referenced by:  resqrexlemover  9837  resqrexlemlo  9840
 Copyright terms: Public domain W3C validator