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Theorem resqrexlemga 10763
Description: Lemma for resqrex 10766. The sequence formed by squaring each term of 𝐹 converges to 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
resqrexlemgt0.rr (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
resqrexlemgt0.lim (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)))
resqrexlemsqa.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑥)↑2))
Assertion
Ref Expression
resqrexlemga (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺𝑘) < (𝐴 + 𝑒) ∧ 𝐴 < ((𝐺𝑘) + 𝑒)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝑗,𝐹,𝑘   𝑥,𝐹,𝑘   𝑒,𝑗,𝑘,𝜑   𝜑,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑖)   𝐴(𝑥,𝑒,𝑖,𝑗,𝑘)   𝐹(𝑦,𝑧,𝑒,𝑖)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑒,𝑖,𝑗,𝑘)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑧,𝑒,𝑖,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem resqrexlemga
StepHypRef Expression
1 resqrexlemex.seq . . . . . . . . . . 11 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
2 resqrexlemex.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 resqrexlemex.agt0 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
41, 2, 3resqrexlemf 10747 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ+)
54adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
6 1nn 8699 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ
76a1i 9 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℕ)
85, 7ffvelrnd 5524 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (𝐹‘1) ∈ ℝ+)
9 2z 9050 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
109a1i 9 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℤ)
118, 10rpexpcld 10416 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ+)
12 simpr 109 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ+)
1311, 12rpdivcld 9469 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) ∈ ℝ+)
1413rpred 9451 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) ∈ ℝ)
15 1red 7749 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
1614, 15readdcld 7763 . . . 4 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) ∈ ℝ)
17 arch 8942 . . . 4 (((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) ∈ ℝ → ∃𝑗 ∈ ℕ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗)
1816, 17syl 14 . . 3 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗)
19 simpllr 508 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑗 ∈ ℕ)
20 simpr 109 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))
21 eluznn 9362 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
2219, 20, 21syl2anc 408 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
23 simplll 507 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) → 𝜑)
2423adantr 274 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝜑)
2524, 4syl 14 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
2625, 22ffvelrnd 5524 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
279a1i 9 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 2 ∈ ℤ)
2826, 27rpexpcld 10416 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑘)↑2) ∈ ℝ+)
29 fveq2 5389 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑘 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑘))
3029oveq1d 5757 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑘 → ((𝐹𝑥)↑2) = ((𝐹𝑘)↑2))
31 resqrexlemsqa.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑥)↑2))
3230, 31fvmptg 5465 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ ((𝐹𝑘)↑2) ∈ ℝ+) → (𝐺𝑘) = ((𝐹𝑘)↑2))
3322, 28, 32syl2anc 408 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐺𝑘) = ((𝐹𝑘)↑2))
3428rpred 9451 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑘)↑2) ∈ ℝ)
3524, 2syl 14 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝐴 ∈ ℝ)
3634, 35resubcld 8111 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
3711ad3antrrr 483 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ+)
3837rpred 9451 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ)
39 4re 8765 . . . . . . . . . . . . . 14 4 ∈ ℝ
40 4pos 8785 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 4
4139, 40elrpii 9412 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℝ+
4241a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 4 ∈ ℝ+)
43 nnm1nn0 8986 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
4422, 43syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
4544nn0zd 9139 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
4642, 45rpexpcld 10416 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (4↑(𝑘 − 1)) ∈ ℝ+)
4738, 46rerpdivcld 9483 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) ∈ ℝ)
4812ad3antrrr 483 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
4948rpred 9451 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑒 ∈ ℝ)
501, 2, 3resqrexlemcalc3 10756 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))))
5124, 22, 50syl2anc 408 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))))
5214ad3antrrr 483 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) ∈ ℝ)
5322nnred 8701 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℝ)
54 1red 7749 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 1 ∈ ℝ)
5553, 54resubcld 8111 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ)
5639a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 4 ∈ ℝ)
5756, 44reexpcld 10409 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (4↑(𝑘 − 1)) ∈ ℝ)
5816ad3antrrr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) ∈ ℝ)
5919nnred 8701 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ)
60 simplr 504 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗)
61 eluzle 9306 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → 𝑗𝑘)
6261adantl 275 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑗𝑘)
6358, 59, 53, 60, 62ltletrd 8153 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑘)
6452, 54, 53ltaddsubd 8275 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑘 ↔ (((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) < (𝑘 − 1)))
6563, 64mpbid 146 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) < (𝑘 − 1))
66 4z 9052 . . . . . . . . . . . . . 14 4 ∈ ℤ
67 2re 8758 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ
68 2lt4 8861 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 < 4
6967, 39, 68ltleii 7834 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ≤ 4
70 eluz2 9300 . . . . . . . . . . . . . 14 (4 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 4))
719, 66, 69, 70mpbir3an 1148 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ (ℤ‘2)
72 bernneq3 10382 . . . . . . . . . . . . 13 ((4 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑘 − 1) < (4↑(𝑘 − 1)))
7371, 44, 72sylancr 410 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑘 − 1) < (4↑(𝑘 − 1)))
7452, 55, 57, 65, 73lttrd 7856 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) < (4↑(𝑘 − 1)))
7538, 48, 46, 74ltdiv23d 9512 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) < 𝑒)
7636, 47, 49, 51, 75lelttrd 7855 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) < 𝑒)
7734, 35, 49ltsubadd2d 8273 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) < 𝑒 ↔ ((𝐹𝑘)↑2) < (𝐴 + 𝑒)))
7876, 77mpbid 146 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑘)↑2) < (𝐴 + 𝑒))
7933, 78eqbrtrd 3920 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐺𝑘) < (𝐴 + 𝑒))
8033, 28eqeltrd 2194 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ+)
8180rpred 9451 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
8281, 49readdcld 7763 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐺𝑘) + 𝑒) ∈ ℝ)
831, 2, 3resqrexlemover 10750 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2))
8424, 22, 83syl2anc 408 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2))
8584, 33breqtrrd 3926 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝐴 < (𝐺𝑘))
8681, 48ltaddrpd 9485 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐺𝑘) < ((𝐺𝑘) + 𝑒))
8735, 81, 82, 85, 86lttrd 7856 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝐴 < ((𝐺𝑘) + 𝑒))
8879, 87jca 304 . . . . . 6 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐺𝑘) < (𝐴 + 𝑒) ∧ 𝐴 < ((𝐺𝑘) + 𝑒)))
8988ralrimiva 2482 . . . . 5 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺𝑘) < (𝐴 + 𝑒) ∧ 𝐴 < ((𝐺𝑘) + 𝑒)))
9089ex 114 . . . 4 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺𝑘) < (𝐴 + 𝑒) ∧ 𝐴 < ((𝐺𝑘) + 𝑒))))
9190reximdva 2511 . . 3 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℕ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺𝑘) < (𝐴 + 𝑒) ∧ 𝐴 < ((𝐺𝑘) + 𝑒))))
9218, 91mpd 13 . 2 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺𝑘) < (𝐴 + 𝑒) ∧ 𝐴 < ((𝐺𝑘) + 𝑒)))
9392ralrimiva 2482 1 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺𝑘) < (𝐴 + 𝑒) ∧ 𝐴 < ((𝐺𝑘) + 𝑒)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1316  wcel 1465  wral 2393  wrex 2394  {csn 3497   class class class wbr 3899  cmpt 3959   × cxp 4507  wf 5089  cfv 5093  (class class class)co 5742  cmpo 5744  cr 7587  0cc0 7588  1c1 7589   + caddc 7591   < clt 7768  cle 7769  cmin 7901   / cdiv 8400  cn 8688  2c2 8739  4c4 8741  0cn0 8945  cz 9022  cuz 9294  +crp 9409  seqcseq 10186  cexp 10260
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706  ax-arch 7707
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-frec 6256  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-2 8747  df-3 8748  df-4 8749  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-rp 9410  df-seqfrec 10187  df-exp 10261
This theorem is referenced by:  resqrexlemsqa  10764
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