ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlemgt0 GIF version

Theorem resqrexlemgt0 10760
Description: Lemma for resqrex 10766. A limit is nonnegative. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
resqrexlemgt0.rr (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
resqrexlemgt0.lim (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)))
Assertion
Ref Expression
resqrexlemgt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐿)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝑒,𝐹   𝑒,𝐿,𝑖,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗   𝑧,𝑗,𝜑   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑒)   𝐴(𝑒,𝑖,𝑗)   𝐹(𝑦,𝑧,𝑖,𝑗)   𝐿(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemgt0
StepHypRef Expression
1 oveq2 5750 . . . . . . . . 9 (𝑒 = -𝐿 → (𝐿 + 𝑒) = (𝐿 + -𝐿))
21breq2d 3911 . . . . . . . 8 (𝑒 = -𝐿 → ((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ↔ (𝐹𝑖) < (𝐿 + -𝐿)))
3 oveq2 5750 . . . . . . . . 9 (𝑒 = -𝐿 → ((𝐹𝑖) + 𝑒) = ((𝐹𝑖) + -𝐿))
43breq2d 3911 . . . . . . . 8 (𝑒 = -𝐿 → (𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒) ↔ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + -𝐿)))
52, 4anbi12d 464 . . . . . . 7 (𝑒 = -𝐿 → (((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)) ↔ ((𝐹𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + -𝐿))))
65rexralbidv 2438 . . . . . 6 (𝑒 = -𝐿 → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + -𝐿))))
7 resqrexlemgt0.lim . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)))
87adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑𝐿 < 0) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)))
9 resqrexlemgt0.rr . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
109adantr 274 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐿 < 0) → 𝐿 ∈ ℝ)
1110renegcld 8110 . . . . . . 7 ((𝜑𝐿 < 0) → -𝐿 ∈ ℝ)
129lt0neg1d 8245 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐿 < 0 ↔ 0 < -𝐿))
1312biimpa 294 . . . . . . 7 ((𝜑𝐿 < 0) → 0 < -𝐿)
1411, 13elrpd 9449 . . . . . 6 ((𝜑𝐿 < 0) → -𝐿 ∈ ℝ+)
156, 8, 14rspcdva 2768 . . . . 5 ((𝜑𝐿 < 0) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + -𝐿)))
16 simpl 108 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + -𝐿)) → (𝐹𝑖) < (𝐿 + -𝐿))
1710recnd 7762 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐿 < 0) → 𝐿 ∈ ℂ)
1817negidd 8031 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐿 < 0) → (𝐿 + -𝐿) = 0)
1918breq2d 3911 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐿 < 0) → ((𝐹𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ↔ (𝐹𝑖) < 0))
2016, 19syl5ib 153 . . . . . . 7 ((𝜑𝐿 < 0) → (((𝐹𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + -𝐿)) → (𝐹𝑖) < 0))
2120ralimdv 2477 . . . . . 6 ((𝜑𝐿 < 0) → (∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + -𝐿)) → ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑖) < 0))
2221reximdv 2510 . . . . 5 ((𝜑𝐿 < 0) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + -𝐿) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + -𝐿)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑖) < 0))
2315, 22mpd 13 . . . 4 ((𝜑𝐿 < 0) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑖) < 0)
24 0red 7735 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → 0 ∈ ℝ)
25 eluznn 9362 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑖 ∈ ℕ)
26 resqrexlemex.seq . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
27 resqrexlemex.a . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
28 resqrexlemex.agt0 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
2926, 27, 28resqrexlemf 10747 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ+)
3029ffvelrnda 5523 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹𝑖) ∈ ℝ+)
3125, 30sylan2 284 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐹𝑖) ∈ ℝ+)
3231rpred 9451 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐹𝑖) ∈ ℝ)
3331rpgt0d 9454 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → 0 < (𝐹𝑖))
3424, 32, 33ltnsymd 7850 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → ¬ (𝐹𝑖) < 0)
3534pm2.21d 593 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗))) → ((𝐹𝑖) < 0 → ⊥))
3635anassrs 397 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑖) < 0 → ⊥))
3736ralimdva 2476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑖) < 0 → ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)⊥))
38 nnz 9041 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
39 uzid 9308 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
40 elex2 2676 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) → ∃𝑧 𝑧 ∈ (ℤ𝑗))
41 r19.3rmv 3423 . . . . . . . . . 10 (∃𝑧 𝑧 ∈ (ℤ𝑗) → (⊥ ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)⊥))
4239, 40, 413syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℤ → (⊥ ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)⊥))
4338, 42syl 14 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ → (⊥ ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)⊥))
4443adantl 275 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (⊥ ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)⊥))
4537, 44sylibrd 168 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑖) < 0 → ⊥))
4645rexlimdva 2526 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑖) < 0 → ⊥))
4746adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝐿 < 0) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑖) < 0 → ⊥))
4823, 47mpd 13 . . 3 ((𝜑𝐿 < 0) → ⊥)
4948inegd 1335 . 2 (𝜑 → ¬ 𝐿 < 0)
50 0re 7734 . . 3 0 ∈ ℝ
51 lenlt 7808 . . 3 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 < 0))
5250, 9, 51sylancr 410 . 2 (𝜑 → (0 ≤ 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 < 0))
5349, 52mpbird 166 1 (𝜑 → 0 ≤ 𝐿)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1316  wfal 1321  wex 1453  wcel 1465  wral 2393  wrex 2394  {csn 3497   class class class wbr 3899   × cxp 4507  cfv 5093  (class class class)co 5742  cmpo 5744  cr 7587  0cc0 7588  1c1 7589   + caddc 7591   < clt 7768  cle 7769  -cneg 7902   / cdiv 8400  cn 8688  2c2 8739  cz 9022  cuz 9294  +crp 9409  seqcseq 10186
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-frec 6256  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-2 8747  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-rp 9410  df-seqfrec 10187
This theorem is referenced by:  resqrexlemglsq  10762  resqrexlemex  10765
  Copyright terms: Public domain W3C validator