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Theorem resqrexlemnm 10758
Description: Lemma for resqrex 10766. The difference between two terms of the sequence. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 31-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
resqrexlemnmsq.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
resqrexlemnmsq.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
resqrexlemnmsq.nm (𝜑𝑁𝑀)
Assertion
Ref Expression
resqrexlemnm (𝜑 → ((𝐹𝑁) − (𝐹𝑀)) < ((((𝐹‘1)↑2) · 2) / (2↑(𝑁 − 1))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧   𝑦,𝑀,𝑧   𝑦,𝑁,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemnm
StepHypRef Expression
1 resqrexlemex.seq . . . . . . 7 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
2 resqrexlemex.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 resqrexlemex.agt0 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
41, 2, 3resqrexlemf 10747 . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ+)
5 resqrexlemnmsq.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
64, 5ffvelrnd 5524 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℝ+)
76rpred 9451 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
8 resqrexlemnmsq.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
94, 8ffvelrnd 5524 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℝ+)
109rpred 9451 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℝ)
117, 10resubcld 8111 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝑁) − (𝐹𝑀)) ∈ ℝ)
127resqcld 10418 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝑁)↑2) ∈ ℝ)
1310resqcld 10418 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝑀)↑2) ∈ ℝ)
1412, 13resubcld 8111 . . . 4 (𝜑 → (((𝐹𝑁)↑2) − ((𝐹𝑀)↑2)) ∈ ℝ)
15 2cn 8759 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
16 expm1t 10289 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑𝑁) = ((2↑(𝑁 − 1)) · 2))
1715, 5, 16sylancr 410 . . . . . 6 (𝜑 → (2↑𝑁) = ((2↑(𝑁 − 1)) · 2))
18 2nn 8849 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ
1918a1i 9 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
205nnnn0d 8998 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2119, 20nnexpcld 10414 . . . . . . 7 (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
2221nnrpd 9450 . . . . . 6 (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℝ+)
2317, 22eqeltrrd 2195 . . . . 5 (𝜑 → ((2↑(𝑁 − 1)) · 2) ∈ ℝ+)
2423rpred 9451 . . . 4 (𝜑 → ((2↑(𝑁 − 1)) · 2) ∈ ℝ)
2514, 24remulcld 7764 . . 3 (𝜑 → ((((𝐹𝑁)↑2) − ((𝐹𝑀)↑2)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) ∈ ℝ)
26 1nn 8699 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
2726a1i 9 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
284, 27ffvelrnd 5524 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ ℝ+)
2919nnzd 9140 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
3028, 29rpexpcld 10416 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ+)
31 4re 8765 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℝ
32 4pos 8785 . . . . . . . . 9 0 < 4
3331, 32elrpii 9412 . . . . . . . 8 4 ∈ ℝ+
3433a1i 9 . . . . . . 7 (𝜑 → 4 ∈ ℝ+)
355nnzd 9140 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
36 peano2zm 9060 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
3735, 36syl 14 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
3834, 37rpexpcld 10416 . . . . . 6 (𝜑 → (4↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ+)
3930, 38rpdivcld 9469 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ+)
4039rpred 9451 . . . 4 (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
4140, 24remulcld 7764 . . 3 (𝜑 → ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) ∈ ℝ)
426, 9rpaddcld 9467 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝑁) + (𝐹𝑀)) ∈ ℝ+)
4342, 23rpmulcld 9468 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐹𝑁) + (𝐹𝑀)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) ∈ ℝ+)
4443rpred 9451 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐹𝑁) + (𝐹𝑀)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) ∈ ℝ)
452adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℝ)
463adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 < 𝑀) → 0 ≤ 𝐴)
475adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℕ)
488adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ)
49 simpr 109 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 < 𝑀) → 𝑁 < 𝑀)
501, 45, 46, 47, 48, 49resqrexlemdecn 10752 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 < 𝑀) → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑁))
5110adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 < 𝑀) → (𝐹𝑀) ∈ ℝ)
527adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 < 𝑀) → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
53 difrp 9448 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℝ) → ((𝐹𝑀) < (𝐹𝑁) ↔ ((𝐹𝑁) − (𝐹𝑀)) ∈ ℝ+))
5451, 52, 53syl2anc 408 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 < 𝑀) → ((𝐹𝑀) < (𝐹𝑁) ↔ ((𝐹𝑁) − (𝐹𝑀)) ∈ ℝ+))
5550, 54mpbid 146 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 < 𝑀) → ((𝐹𝑁) − (𝐹𝑀)) ∈ ℝ+)
5655rpge0d 9455 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 < 𝑀) → 0 ≤ ((𝐹𝑁) − (𝐹𝑀)))
577recnd 7762 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℂ)
5857subidd 8029 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹𝑁) − (𝐹𝑁)) = 0)
59 fveq2 5389 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 𝑀 → (𝐹𝑁) = (𝐹𝑀))
6059oveq2d 5758 . . . . . . . 8 (𝑁 = 𝑀 → ((𝐹𝑁) − (𝐹𝑁)) = ((𝐹𝑁) − (𝐹𝑀)))
6158, 60sylan9req 2171 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → 0 = ((𝐹𝑁) − (𝐹𝑀)))
62 0re 7734 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
6362eqlei 7825 . . . . . . 7 (0 = ((𝐹𝑁) − (𝐹𝑀)) → 0 ≤ ((𝐹𝑁) − (𝐹𝑀)))
6461, 63syl 14 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → 0 ≤ ((𝐹𝑁) − (𝐹𝑀)))
65 resqrexlemnmsq.nm . . . . . . 7 (𝜑𝑁𝑀)
668nnzd 9140 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
67 zleloe 9069 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁𝑀 ↔ (𝑁 < 𝑀𝑁 = 𝑀)))
6835, 66, 67syl2anc 408 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁𝑀 ↔ (𝑁 < 𝑀𝑁 = 𝑀)))
6965, 68mpbid 146 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 < 𝑀𝑁 = 𝑀))
7056, 64, 69mpjaodan 772 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ ((𝐹𝑁) − (𝐹𝑀)))
71 1red 7749 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
7221nnrecred 8735 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 / (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
7372recnd 7762 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 / (2↑𝑁)) ∈ ℂ)
7473addid1d 7879 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1 / (2↑𝑁)) + 0) = (1 / (2↑𝑁)))
75 0red 7735 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
761, 2, 3resqrexlemlo 10753 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑁)) < (𝐹𝑁))
775, 76mpdan 417 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 / (2↑𝑁)) < (𝐹𝑁))
789rpgt0d 9454 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < (𝐹𝑀))
7972, 75, 7, 10, 77, 78lt2addd 8297 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1 / (2↑𝑁)) + 0) < ((𝐹𝑁) + (𝐹𝑀)))
8074, 79eqbrtrrd 3922 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / (2↑𝑁)) < ((𝐹𝑁) + (𝐹𝑀)))
817, 10readdcld 7763 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝑁) + (𝐹𝑀)) ∈ ℝ)
8271, 81, 22ltdivmul2d 9504 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 / (2↑𝑁)) < ((𝐹𝑁) + (𝐹𝑀)) ↔ 1 < (((𝐹𝑁) + (𝐹𝑀)) · (2↑𝑁))))
8380, 82mpbid 146 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 < (((𝐹𝑁) + (𝐹𝑀)) · (2↑𝑁)))
8417oveq2d 5758 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐹𝑁) + (𝐹𝑀)) · (2↑𝑁)) = (((𝐹𝑁) + (𝐹𝑀)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)))
8583, 84breqtrd 3924 . . . . . 6 (𝜑 → 1 < (((𝐹𝑁) + (𝐹𝑀)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)))
8671, 44, 85ltled 7849 . . . . 5 (𝜑 → 1 ≤ (((𝐹𝑁) + (𝐹𝑀)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)))
8711, 44, 70, 86lemulge11d 8663 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝑁) − (𝐹𝑀)) ≤ (((𝐹𝑁) − (𝐹𝑀)) · (((𝐹𝑁) + (𝐹𝑀)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2))))
8811recnd 7762 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝑁) − (𝐹𝑀)) ∈ ℂ)
8981recnd 7762 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝑁) + (𝐹𝑀)) ∈ ℂ)
9023rpcnd 9453 . . . . . 6 (𝜑 → ((2↑(𝑁 − 1)) · 2) ∈ ℂ)
9188, 89, 90mulassd 7757 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐹𝑁) − (𝐹𝑀)) · ((𝐹𝑁) + (𝐹𝑀))) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) = (((𝐹𝑁) − (𝐹𝑀)) · (((𝐹𝑁) + (𝐹𝑀)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2))))
9288, 89mulcomd 7755 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐹𝑁) − (𝐹𝑀)) · ((𝐹𝑁) + (𝐹𝑀))) = (((𝐹𝑁) + (𝐹𝑀)) · ((𝐹𝑁) − (𝐹𝑀))))
9310recnd 7762 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℂ)
94 subsq 10367 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑀) ∈ ℂ) → (((𝐹𝑁)↑2) − ((𝐹𝑀)↑2)) = (((𝐹𝑁) + (𝐹𝑀)) · ((𝐹𝑁) − (𝐹𝑀))))
9557, 93, 94syl2anc 408 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐹𝑁)↑2) − ((𝐹𝑀)↑2)) = (((𝐹𝑁) + (𝐹𝑀)) · ((𝐹𝑁) − (𝐹𝑀))))
9692, 95eqtr4d 2153 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐹𝑁) − (𝐹𝑀)) · ((𝐹𝑁) + (𝐹𝑀))) = (((𝐹𝑁)↑2) − ((𝐹𝑀)↑2)))
9796oveq1d 5757 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐹𝑁) − (𝐹𝑀)) · ((𝐹𝑁) + (𝐹𝑀))) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) = ((((𝐹𝑁)↑2) − ((𝐹𝑀)↑2)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)))
9891, 97eqtr3d 2152 . . . 4 (𝜑 → (((𝐹𝑁) − (𝐹𝑀)) · (((𝐹𝑁) + (𝐹𝑀)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2))) = ((((𝐹𝑁)↑2) − ((𝐹𝑀)↑2)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)))
9987, 98breqtrd 3924 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝑁) − (𝐹𝑀)) ≤ ((((𝐹𝑁)↑2) − ((𝐹𝑀)↑2)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)))
1001, 2, 3, 5, 8, 65resqrexlemnmsq 10757 . . . 4 (𝜑 → (((𝐹𝑁)↑2) − ((𝐹𝑀)↑2)) < (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))
10114, 40, 23, 100ltmul1dd 9507 . . 3 (𝜑 → ((((𝐹𝑁)↑2) − ((𝐹𝑀)↑2)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) < ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)))
10211, 25, 41, 99, 101lelttrd 7855 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝑁) − (𝐹𝑀)) < ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)))
10340recnd 7762 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
10419nnrpd 9450 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
105104, 37rpexpcld 10416 . . . . . . 7 (𝜑 → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ+)
106105rpcnd 9453 . . . . . 6 (𝜑 → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
107 2cnd 8761 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
108103, 106, 107mulassd 7757 . . . . 5 (𝜑 → (((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) · (2↑(𝑁 − 1))) · 2) = ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)))
10930rpcnd 9453 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℂ)
11038rpcnd 9453 . . . . . . . 8 (𝜑 → (4↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
11138rpap0d 9457 . . . . . . . 8 (𝜑 → (4↑(𝑁 − 1)) # 0)
112109, 110, 106, 111div32apd 8542 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) · (2↑(𝑁 − 1))) = (((𝐹‘1)↑2) · ((2↑(𝑁 − 1)) / (4↑(𝑁 − 1)))))
113 4d2e2 8848 . . . . . . . . . . . 12 (4 / 2) = 2
114113oveq1i 5752 . . . . . . . . . . 11 ((4 / 2)↑(𝑁 − 1)) = (2↑(𝑁 − 1))
11534rpcnd 9453 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
116104rpap0d 9457 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 # 0)
117 nnm1nn0 8986 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
1185, 117syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
119115, 107, 116, 118expdivapd 10406 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((4 / 2)↑(𝑁 − 1)) = ((4↑(𝑁 − 1)) / (2↑(𝑁 − 1))))
120114, 119syl5eqr 2164 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2↑(𝑁 − 1)) = ((4↑(𝑁 − 1)) / (2↑(𝑁 − 1))))
121120oveq2d 5758 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / (2↑(𝑁 − 1))) = (1 / ((4↑(𝑁 − 1)) / (2↑(𝑁 − 1)))))
122105rpap0d 9457 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2↑(𝑁 − 1)) # 0)
123110, 106, 111, 122recdivapd 8535 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / ((4↑(𝑁 − 1)) / (2↑(𝑁 − 1)))) = ((2↑(𝑁 − 1)) / (4↑(𝑁 − 1))))
124121, 123eqtrd 2150 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / (2↑(𝑁 − 1))) = ((2↑(𝑁 − 1)) / (4↑(𝑁 − 1))))
125124oveq2d 5758 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) · (1 / (2↑(𝑁 − 1)))) = (((𝐹‘1)↑2) · ((2↑(𝑁 − 1)) / (4↑(𝑁 − 1)))))
126112, 125eqtr4d 2153 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) · (2↑(𝑁 − 1))) = (((𝐹‘1)↑2) · (1 / (2↑(𝑁 − 1)))))
127126oveq1d 5757 . . . . 5 (𝜑 → (((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) · (2↑(𝑁 − 1))) · 2) = ((((𝐹‘1)↑2) · (1 / (2↑(𝑁 − 1)))) · 2))
128108, 127eqtr3d 2152 . . . 4 (𝜑 → ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) = ((((𝐹‘1)↑2) · (1 / (2↑(𝑁 − 1)))) · 2))
129106, 122recclapd 8509 . . . . 5 (𝜑 → (1 / (2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
130109, 129, 107mul32d 7883 . . . 4 (𝜑 → ((((𝐹‘1)↑2) · (1 / (2↑(𝑁 − 1)))) · 2) = ((((𝐹‘1)↑2) · 2) · (1 / (2↑(𝑁 − 1)))))
131128, 130eqtrd 2150 . . 3 (𝜑 → ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) = ((((𝐹‘1)↑2) · 2) · (1 / (2↑(𝑁 − 1)))))
132109, 107mulcld 7754 . . . 4 (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) · 2) ∈ ℂ)
133132, 106, 122divrecapd 8521 . . 3 (𝜑 → ((((𝐹‘1)↑2) · 2) / (2↑(𝑁 − 1))) = ((((𝐹‘1)↑2) · 2) · (1 / (2↑(𝑁 − 1)))))
134131, 133eqtr4d 2153 . 2 (𝜑 → ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) = ((((𝐹‘1)↑2) · 2) / (2↑(𝑁 − 1))))
135102, 134breqtrd 3924 1 (𝜑 → ((𝐹𝑁) − (𝐹𝑀)) < ((((𝐹‘1)↑2) · 2) / (2↑(𝑁 − 1))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wo 682   = wceq 1316  wcel 1465  {csn 3497   class class class wbr 3899   × cxp 4507  cfv 5093  (class class class)co 5742  cmpo 5744  cc 7586  cr 7587  0cc0 7588  1c1 7589   + caddc 7591   · cmul 7593   < clt 7768  cle 7769  cmin 7901   / cdiv 8400  cn 8688  2c2 8739  4c4 8741  0cn0 8945  cz 9022  +crp 9409  seqcseq 10186  cexp 10260
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-frec 6256  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-2 8747  df-3 8748  df-4 8749  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-rp 9410  df-seqfrec 10187  df-exp 10261
This theorem is referenced by:  resqrexlemcvg  10759
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