ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlemp1rp GIF version

Theorem resqrexlemp1rp 10093
Description: Lemma for resqrex 10113. Applying the recursion rule yields a positive real (expressed in a way that will help apply iseqfcl 9587 and similar theorems). (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}), ℝ+)
resqrexlemex.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
resqrexlemp1rp ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐵(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2))𝐶) ∈ ℝ+)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝐶,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemp1rp
StepHypRef Expression
1 eqidd 2084 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)) = (𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)))
2 id 19 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐵𝑦 = 𝐵)
3 oveq2 5571 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐵 → (𝐴 / 𝑦) = (𝐴 / 𝐵))
42, 3oveq12d 5581 . . . . 5 (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) = (𝐵 + (𝐴 / 𝐵)))
54oveq1d 5578 . . . 4 (𝑦 = 𝐵 → ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2) = ((𝐵 + (𝐴 / 𝐵)) / 2))
65ad2antrl 474 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑦 = 𝐵𝑧 = 𝐶)) → ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2) = ((𝐵 + (𝐴 / 𝐵)) / 2))
7 simprl 498 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
8 simprr 499 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → 𝐶 ∈ ℝ+)
97rpred 8906 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → 𝐵 ∈ ℝ)
10 resqrexlemex.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1110adantr 270 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → 𝐴 ∈ ℝ)
1211, 7rerpdivcld 8938 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
139, 12readdcld 7262 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐵 + (𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
1413rehalfcld 8396 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → ((𝐵 + (𝐴 / 𝐵)) / 2) ∈ ℝ)
151, 6, 7, 8, 14ovmpt2d 5679 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐵(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2))𝐶) = ((𝐵 + (𝐴 / 𝐵)) / 2))
167rpgt0d 8909 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → 0 < 𝐵)
17 resqrexlemex.agt0 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
1817adantr 270 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → 0 ≤ 𝐴)
1911, 7, 18divge0d 8947 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
20 addgtge0 7673 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐵 ∧ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))) → 0 < (𝐵 + (𝐴 / 𝐵)))
219, 12, 16, 19, 20syl22anc 1171 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → 0 < (𝐵 + (𝐴 / 𝐵)))
2213, 21elrpd 8904 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐵 + (𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ+)
2322rphalfcld 8919 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → ((𝐵 + (𝐴 / 𝐵)) / 2) ∈ ℝ+)
2415, 23eqeltrd 2159 1 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐵(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2))𝐶) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1285  wcel 1434  {csn 3416   class class class wbr 3805   × cxp 4389  (class class class)co 5563  cmpt2 5565  cr 7094  0cc0 7095  1c1 7096   + caddc 7098   < clt 7267  cle 7268   / cdiv 7879  cn 8158  2c2 8208  +crp 8867  seqcseq 9573
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-mulrcl 7189  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-precex 7200  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206  ax-pre-mulgt0 7207  ax-pre-mulext 7208
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-br 3806  df-opab 3860  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-reap 7794  df-ap 7801  df-div 7880  df-2 8217  df-rp 8868
This theorem is referenced by:  resqrexlemf  10094  resqrexlemf1  10095  resqrexlemfp1  10096
  Copyright terms: Public domain W3C validator