ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlemp1rp GIF version

Theorem resqrexlemp1rp 9825
Description: Lemma for resqrex 9845. Applying the recursion rule yields a positive real (expressed in a way that will help apply iseqf 9382 and similar theorems). (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}), ℝ+)
resqrexlemex.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
resqrexlemp1rp ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐵(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2))𝐶) ∈ ℝ+)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝐶,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemp1rp
StepHypRef Expression
1 eqidd 2057 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)) = (𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)))
2 id 19 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐵𝑦 = 𝐵)
3 oveq2 5547 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐵 → (𝐴 / 𝑦) = (𝐴 / 𝐵))
42, 3oveq12d 5557 . . . . 5 (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) = (𝐵 + (𝐴 / 𝐵)))
54oveq1d 5554 . . . 4 (𝑦 = 𝐵 → ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2) = ((𝐵 + (𝐴 / 𝐵)) / 2))
65ad2antrl 467 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑦 = 𝐵𝑧 = 𝐶)) → ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2) = ((𝐵 + (𝐴 / 𝐵)) / 2))
7 simprl 491 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
8 simprr 492 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → 𝐶 ∈ ℝ+)
97rpred 8719 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → 𝐵 ∈ ℝ)
10 resqrexlemex.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1110adantr 265 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → 𝐴 ∈ ℝ)
1211, 7rerpdivcld 8751 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
139, 12readdcld 7113 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐵 + (𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
1413rehalfcld 8227 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → ((𝐵 + (𝐴 / 𝐵)) / 2) ∈ ℝ)
151, 6, 7, 8, 14ovmpt2d 5655 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐵(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2))𝐶) = ((𝐵 + (𝐴 / 𝐵)) / 2))
167rpgt0d 8722 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → 0 < 𝐵)
17 resqrexlemex.agt0 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
1817adantr 265 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → 0 ≤ 𝐴)
1911, 7, 18divge0d 8760 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
20 addgtge0 7518 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐵 ∧ 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))) → 0 < (𝐵 + (𝐴 / 𝐵)))
219, 12, 16, 19, 20syl22anc 1147 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → 0 < (𝐵 + (𝐴 / 𝐵)))
2213, 21elrpd 8717 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐵 + (𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ+)
2322rphalfcld 8732 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → ((𝐵 + (𝐴 / 𝐵)) / 2) ∈ ℝ+)
2415, 23eqeltrd 2130 1 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)) → (𝐵(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2))𝐶) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101   = wceq 1259  wcel 1409  {csn 3402   class class class wbr 3791   × cxp 4370  (class class class)co 5539  cmpt2 5541  cr 6945  0cc0 6946  1c1 6947   + caddc 6949   < clt 7118  cle 7119   / cdiv 7724  cn 7989  2c2 8039  +crp 8680  seqcseq 9369
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033  ax-1cn 7034  ax-1re 7035  ax-icn 7036  ax-addcl 7037  ax-addrcl 7038  ax-mulcl 7039  ax-mulrcl 7040  ax-addcom 7041  ax-mulcom 7042  ax-addass 7043  ax-mulass 7044  ax-distr 7045  ax-i2m1 7046  ax-1rid 7048  ax-0id 7049  ax-rnegex 7050  ax-precex 7051  ax-cnre 7052  ax-pre-ltirr 7053  ax-pre-ltwlin 7054  ax-pre-lttrn 7055  ax-pre-apti 7056  ax-pre-ltadd 7057  ax-pre-mulgt0 7058  ax-pre-mulext 7059
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-eprel 4053  df-id 4057  df-po 4060  df-iso 4061  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-riota 5495  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-1o 6031  df-2o 6032  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-pli 6460  df-mi 6461  df-lti 6462  df-plpq 6499  df-mpq 6500  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-plqqs 6504  df-mqqs 6505  df-1nqqs 6506  df-rq 6507  df-ltnqqs 6508  df-enq0 6579  df-nq0 6580  df-0nq0 6581  df-plq0 6582  df-mq0 6583  df-inp 6621  df-i1p 6622  df-iplp 6623  df-iltp 6625  df-enr 6868  df-nr 6869  df-ltr 6872  df-0r 6873  df-1r 6874  df-0 6953  df-1 6954  df-r 6956  df-lt 6959  df-pnf 7120  df-mnf 7121  df-xr 7122  df-ltxr 7123  df-le 7124  df-sub 7246  df-neg 7247  df-reap 7639  df-ap 7646  df-div 7725  df-2 8048  df-rp 8681
This theorem is referenced by:  resqrexlemf  9826  resqrexlemf1  9827  resqrexlemfp1  9828
  Copyright terms: Public domain W3C validator